Question

12．已知圓O：x²+y²=1和定點(diǎn)A（2，1），由圓O外一點(diǎn)P（a，b）向圓O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿(mǎn)足|PQ|=|PA|．
（1）求實(shí)數(shù)a、b間滿(mǎn)足的等量關(guān)系；
（2）求線段PQ長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)镼是切點(diǎn)，由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²，列出等式即可；
（2）點(diǎn)P在直線l：2x+y-3=0 上．|PQ|_min=|PA|_min ，即求點(diǎn)A 到直線 l 的距離；

解答 解：（1）連OP，∵Q為切點(diǎn)，PQ⊥OQ，由勾股定理有
|PQ|²=|OP|²-|OQ|²
又由已知|PQ|=|PA|，故：（a²+b²）-1²=（a-2）²+（b-1）²
化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a、b間滿(mǎn)足的等量關(guān)系為：2a+b-3=0．
（2）由（1）知，點(diǎn)P在直線l：2x+y-3=0 上．
∴|PQ|_min=|PA|_min ，即求點(diǎn)A 到直線 l 的距離．
∴|PQ|_min═$\frac{|2×2+1-5|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線與圓半徑垂直性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，屬中等題．