Question

10．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，離心率是方程2x²-5x+2=0的一個(gè)解．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)E（0，1），問(wèn)是否存在不平行F₁F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)且|ME|=|NE|，若存在，求出直線l斜率的范圍，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出方程2x²-5x+2=0的解，結(jié)合橢圓C的離心率e＜1，求出a，b即可求解橢圓方程．
（2）求出橢圓的左右焦點(diǎn)，判斷l(xiāng)⊥F₁F₂時(shí)不滿足題意，設(shè)l：y=kx+m（k≠0），聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)F（x₀，y₀），利用判別式以及韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式以及垂直條件求解直線l斜率的范圍．

解答 解：（1）方程2x²-5x+2=0的解是${x_1}=2，{x_2}=\frac{1}{2}$，
∵橢圓C的離心率e＜1，∴$e=\frac{1}{2}$∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又  2a=8，
∴$a=4，c=2，b=2\sqrt{3}$，
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．（3分）
（2）橢圓的左右焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
l⊥F₁F₂時(shí)不符，（4分）
設(shè)l：y=kx+m（k≠0），
由　$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\end{array}\right.⇒（3+4{k^2}）{x^2}+8kmx+4{m^2}-48=0$，（6分）
△＞0⇒64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-48）＞0⇒16k²≥m²-12，（7分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)F（x₀，y₀），
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}$，${y_0}=k{x_0}+m=\frac{3m}{{3+4{k^2}}}$，$|ME|=|NE|⇒MN⊥EF⇒\frac{{{y_0}-1}}{x_0}=-\frac{1}{k}⇒\frac{{\frac{3m}{{3+4{k^2}}}-1}}{{-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}}}=-\frac{1}{k}⇒m=-（{3+4{k^2}}）$，
∴16k²≥（-3-4k²）²-12，
∴$0＜{k^2}≤\frac{1}{4}$∴$-\frac{1}{2}≤k≤\frac{1}{2}$且k≠0，
∴直線l的傾率的范圍是$[{-\frac{1}{2}，0}）∪（{0，\frac{1}{2}}]$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線斜率的范圍問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．