Question

【題目】設函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，是否存在整數(shù)，使不等式恒成立？若存在，求整數(shù)的值；若不存在，則說明理由；

（3）關于的方程在上恰有兩個相異實根，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）（3）

【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的定義域、導函數(shù)，由， 可求單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可求函數(shù)在上的單調(diào)性，進而求最大值、最小值。由不等式恒成立，得 ，解不等式組可求m的范圍；（3）構造函數(shù)= ，求其導函數(shù)，進而求單調(diào)性、最大、最小值，由關于的方程在上恰有兩個相異實根，轉化為，進而不等式組求實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）由得函數(shù)的定義域為.

.

由，得；由，得.

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）由（1）知， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴.

又， ,且，

∴時， .

∵不等式恒成立，

∴，

即

.

∵是整數(shù)，∴.

∴存在整數(shù)，使不等式恒成立.

（3）由，得.

令， ，則， .

由，得；由得.

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∵方程在上恰有兩個相異實根，

∴函數(shù)在和上各有一個零點.

∴

.

∴實數(shù)的取值范圍是.