【題目】如圖所示，四棱錐中，平面，，，.

（1）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）存在；證明見解析（2）

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面；取的中點(diǎn)，連結(jié)、、，由已知結(jié)合中位線的性質(zhì)可得且，進(jìn)而可得，由線面平行的判定即可得證；

（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面的一個(gè)法向量為與平面的一個(gè)法向量為，利用即可得解.

（1）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面.

證明如下：

取的中點(diǎn)，連結(jié)、、，則且，

，，

且，

四邊形為平行四邊形，

，

平面，平面，

平面.

（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線的垂線，

平面，，，

直線、和兩兩垂直，

以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線、和為軸、軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作交直線于，

，，，

，，

從而可得，，，，，

則，，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即，取，可得，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即，取，可得

，

平面和平面所成銳二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值；

（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于n＝1，2，3，…，有，其中為使為奇數(shù)的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為__________；當(dāng)時(shí)，___________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約公元222年，趙爽為《周碑算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的，如圖（1）），類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正三角形組成的一個(gè)大正三角形，設(shè)，若在大正三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小正三角形的概率為（ ）

A.B.

C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：過點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點(diǎn).

（1）證明：當(dāng)取得最小值時(shí)，橢圓的離心率為.

（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓左、右頂點(diǎn)分別為A、B，上頂點(diǎn)為D(0,1)，離心率為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)E是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AE、BE與直線分別交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，橢圓C上是否存在點(diǎn)T使的面積為？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況，隨機(jī)抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計(jì)其中有40名男性駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.

（1）完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為，家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關(guān)；

平均車速超過的人數(shù)

平均車速不超過的人數(shù)

合計(jì)

男性駕駛員

女性駕駛員

合計(jì)

（2）根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體，隨機(jī)調(diào)查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為，假定抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：

臨界值表：

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)N在曲線上，直線與軸交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為

（1）求的軌跡方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上 (為坐標(biāo)原點(diǎn))，求證：

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的任一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓上點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（�。┣�面積最大值；

（ⅱ）證明：直線與斜率之積為定值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案