【題目】已知橢圓的短軸長為，左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的任一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓上點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，連接并延長交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（�。┣�面積最大值；

（ⅱ）證明：直線與斜率之積為定值.

【答案】（1）；（2）（�。�；（ⅱ）證明見解析.

【解析】

（1）由，解方程組即可得到答案；

（2）（ⅰ）設(shè)，，則，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）設(shè)直線斜率為，直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得到的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算即可.

（1）設(shè)，由，得.

將代入，得，即，

由，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，，則，

（�。┮字�為的中位線，所以，

所以，

又滿足，所以

，得，

故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，

所以面積最大值為.

（ⅱ）記直線斜率為，則直線斜率為，

所以直線方程為.

由，得，

由韋達(dá)定理得，所以，

代入直線方程，得，

于是，直線斜率，

所以直線與斜率之積為定值.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，四棱錐中，平面，，，.

（1）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？請證明你的結(jié)論；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】在以ABCDEF為頂點(diǎn)的五面體中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)，平面EAD⊥平面ABCD.

（1）證明：BD⊥EG；

（2）若三棱錐，求菱形ABCD的邊長.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，的面積為1，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)在橢圓上且位于第二象限，過點(diǎn)作直線，過點(diǎn)作直線，若直線的交點(diǎn)恰好也在橢圓上，求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為了解家長對學(xué)校食堂的滿意情況，分別從高一、高二年級隨機(jī)抽取了20位家長的滿意度評分，其頻數(shù)分布表如下：

滿意度評分分組

合計(jì)

高一

1

3

6

6

4

20

高二

2

6

5

5

2

20

根據(jù)評分，將家長的滿意度從低到高分為三個(gè)等級：

滿意度評分

評分70分

70評分90

評分90分

滿意度等級

不滿意

滿意

非常滿意

假設(shè)兩個(gè)年級家長的評價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二年級各隨機(jī)抽取1名家長，記事件：“高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級”，則事件發(fā)生的概率為__________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且， .

求證：（1）直線DE平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本題滿分13分）

某食品廠進(jìn)行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工費(fèi)為元（為常數(shù)，且，設(shè)該食品廠每公斤蘑菇的出廠價(jià)為元（），根據(jù)市場調(diào)查，銷售量與成反比，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價(jià)為30元時(shí)，日銷售量為100公斤.

（Ⅰ）求該工廠的每日利潤元與每公斤蘑菇的出廠價(jià)元的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）若，當(dāng)每公斤蘑菇的出廠價(jià)為多少元時(shí)，該工廠的利潤最大，并求最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年10月28日，重慶公交車墜江事件震驚全國，也引發(fā)了廣大群眾的思考——如何做一個(gè)文明的乘客.全國各地大部分社區(qū)組織居民學(xué)習(xí)了文明乘車規(guī)范.社區(qū)委員會針對居民的學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行了相關(guān)的問卷調(diào)查，并將得到的分?jǐn)?shù)整理成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.

（Ⅰ）求得分在上的頻率；

（Ⅱ）求社區(qū)居民問卷調(diào)查的平均得分的估計(jì)值；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）

（Ⅲ）以頻率估計(jì)概率，若在全部參與學(xué)習(xí)的居民中隨機(jī)抽取5人參加問卷調(diào)查，記得分在間的人數(shù)為，求的分布列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+bln（x+1），其中b≠0．

（1）若b＝﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；

（2）如果f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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