Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a2

x

（其中常數(shù)a＞0），x∈（0，+∞）．對于n=1，2，3，…，定義函數(shù)列{f_n（x）}如下：f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x））．設(shè)y=f_n（x）的圖象的最低點為P_n（x_n，y_n），則下列說法中錯誤的是（　�。�

• A、x_n=a
• B、y_n+1＞y_n
• C、f_n+1（x）-f_n（x）≥y_n+1-y_n
• D、y_n≥a

  2n+2

Answer 1

考點：基本不等式,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：應(yīng)用基本不等式求出f₁（x）的最小值，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，從而推出故x_n=a，y_n+1＞y_n，判斷A，B；再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明y_n≥a

2n+2

，判斷D；應(yīng)用舉例說明取n=1，令x=

a

2

，得到f₂（

a

2

）-f₁（

a

2

）＜y₂-y₁，從而判斷C．

解答：解：∵常數(shù)a＞0，x∈（0，+∞），
∴f₁（x）=f（x）=x+

a2

x

≥2a，
當(dāng)且僅當(dāng)x=a即x₁=a，取最小值2a，即最低點為（a，2a），
又f₂（x）=f（f₁（x）），令f₁（x）=t₁，則t₁≥2a，
由于f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=1-

a2

x2

，由f′（x）＞0得x＞a，
故f（x）的增區(qū)間為（a，+∞），
∴f₂（x）≥2a+

a2

2a

=

5

2

a，即最低點為（a，

5

2

a），
同理f₃（x）=f（f₂（x）），f₃（x）≥

5

2

a+

a2

5a 2

=

29a

10

，
即最低點為（a，

29a

10

），
故x_n=a，y_n+1＞y_n，即A，B正確；
應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明：y_n≥a

2n+2

，
n=1時，y₁=2a≥a

2+2

，成立，
設(shè)n=k時，y_k≥a

2k+2

成立，則當(dāng)n=k+1時，y_k+1=y_k+

a2

yk

≥a

2k+2

+

a2

a 2k+2

，
∵（

2k+2

+

1

2k+2

）²=2k+2+2+

1

2k+2

＞2（k+1）+2，
∴y_k+1＞a

2(k+1)+2

，
故D正確；
對C．取n=1，令x=

a

2

，則f₁（

a

2

）=

a

2

+2a=

5a

2

，
f₂（

a

2

）=

5a

2

+

2a

5

，f₂（

a

2

）-f₁（

a

2

）=

2a

5

＜y₂-y₁=

5a

2

-2a，
故C錯．
故選C．

點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用求最值，同時考查基本不等式的應(yīng)用，注意等號成立的條件，是一道函數(shù)與數(shù)列的綜合題．