Question

在△ABC中，若

sinB

sinA

=2cos（A+B），則tanB的最大值是（　�。�

• A、

  3

  3

• B、

  2

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：由條件求得cosC＜0，確定出C為鈍角，利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)已知等式的左邊，得到sinB=-2sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），化簡(jiǎn)得到tanC=-3tanA，將tanB化簡(jiǎn)為-tan（A+C），利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將tanC=-3tanA代入，變形后利用基本不等式求出tanB的范圍，即可得到tanB的最大值．

解答：解：△ABC中，∵sinA＞0，sinB＞0，∴

sinB

sinA

=2cos（A+B）=-2cosC＞0，即cosC＜0，
∴C為鈍角，sinB=-2sinAcosC．
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=-2sinAcosC，即cosAsinC=-3sinAcosC，
∴tanC=-3tanA，
∴tanB=-tan（A+C）=-

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

-2tanA

1+3tan2A

=

2

1 tanA +3tanA

≤

2

2 3

=

3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

1

tanA

=3tanA時(shí)，即tanA=

3

3

時(shí)取等號(hào)，
則tanB的最大值為

3

3

，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．