Question

在直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)P（x₁，y_l），Q（x₂，y₂）之間的“直角距離為d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
現(xiàn)有以下命題：
①若P，Q是x軸上兩點(diǎn)，則d（P，Q）=|x₁-x₂|；
②已知兩點(diǎn)P（2，3），Q（sin²α，cos²α），則d（P，Q）為定值；
③原點(diǎn)O到直線x-y+l=0上任意一點(diǎn)P的直角距離d（O，P）的最小值為

2

2

；
④若|PQ|表示P、Q兩點(diǎn)間的距離，那么|PQ|≥

2

2

d（P，Q）；
其中為真命題的是

 

（寫出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：先根據(jù)直角距離的定義分別表示出所求的問(wèn)題的表達(dá)式，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判定即可．

解答： 解：①若P，Q是x軸上兩點(diǎn)，則y₁=y₂=0，所以d（P，Q）=|x₁-x₂|，正確；
②已知P（2，3），Q（sin²α，cos²α）（a∈R），則d（P，Q）=|2-sin²α|+|3-cos²α|=1+cos²α+2+sin²α=4為定值，正確；
③設(shè)P（x，y），O（0，0），則d（0，P）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示數(shù)軸上的x到1和0的距離之和，其最小值為1，故不正確；
④若|PQ|表示P、Q兩點(diǎn)間的距離，那么|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，因?yàn)?（a²+b²）≥（a+b）²，所以|PQ|≥2

2

d（P，Q），正確；．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩點(diǎn)之間的“直角距離”的定義，絕對(duì)值的意義，關(guān)鍵是明確P（x₁，y₁）、Q（x₂，y_2）兩點(diǎn)之間的“直角距離”的含義．