Question

【題目】甲、乙兩人輪流吹同一只氣球，當且僅當氣球內(nèi)的氣體體積（單位：毫升）大于2014時，氣球會被吹破．先由甲開始吹入1毫升氣體，約定以后每次吹入的氣體體積為上一次體積的2倍或，且吹入的氣體體積為整數(shù)．

（1）若誰先吹破氣球誰輸，問誰有必勝策略？證明你的結(jié)論．

（2）若在不吹破氣球的前提下，約定單次吹入的氣體體積最大者為贏家（如果吹入的體積相同，則最先吹出最大體積者為贏家）．問：誰有必勝策略？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)氣球的最大體積為（當且僅當氣球內(nèi)氣體體積大于時，氣球被吹破）．

若甲有必勝策略，則記；若乙有必勝策略，則記．

當，4，…，9時，容易驗證

，，，，．

猜想：，，其中，．

下面用數(shù)學歸納法證明猜想成立．

當時，經(jīng)試驗結(jié)論成立．假設(shè)當時，結(jié)論成立．考慮．

因為前兩次甲、乙吹入的氣體體積只能是甲1毫升、乙2毫升：

若第三次甲吹入1毫升，則乙吹入2毫升即轉(zhuǎn)化為的情形，由歸納假設(shè)，最終乙勝；

若第三次甲吹入4毫升，則乙吹入2毫升即轉(zhuǎn)化為的情形，由歸納假設(shè)，最終也是乙勝．

因此，．

當或時，甲第三次只需吹入1毫升，即轉(zhuǎn)化為的情形，

于是，由歸納假設(shè)．

綜上，由數(shù)學歸納法，知猜想成立．

因為，所以，．

故甲有必勝策略．

（2）設(shè)氣球的最大體積為（當且僅當氣球內(nèi)氣體體積大于時，氣球被吹破）．若甲有必勝策略，則記；若乙有必勝策略，則記．

當，4，…， 9時，可以驗證，．

一般地，猜想：當時，．

下面用數(shù)學歸納法證明猜想成立．

當，8，9時，由試驗知結(jié)論成立．

假設(shè)當時，結(jié)論成立．

當時，因為前兩次甲、乙吹入的氣體體積只能是甲1毫升、乙2毫升，在第三次時甲只需吹入1毫升氣體，即轉(zhuǎn)化為的情形，由數(shù)學歸納法，最終甲是贏家，故．

所以，當時，甲有策略使自己成為最終的贏家．