Question

【題目】已知點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率與直線的斜率乘積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）不經(jīng)過點(diǎn)的直線（且）與橢圓交于，兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（與點(diǎn)不重合），直線，與軸分別交于兩點(diǎn)，，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)橢圓的中點(diǎn)弦所在直線的斜率的性質(zhì)，得到，得到，再結(jié)合橢圓所過的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，聯(lián)立方程組，求得，進(jìn)而求得橢圓的方程；

（Ⅱ）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用韋達(dá)定理得到兩根和與兩根積，將證明結(jié)果轉(zhuǎn)化為證明直線，的斜率互為相反數(shù)，列式，可證.

（Ⅰ）由題意，，

即① 又②

聯(lián)立①①解得

所以，橢圓的方程為：.

（Ⅱ）設(shè)，，，由，

得，

所以，即，

又因?yàn)?/span>，所以，，

，，

解法一：要證明，可轉(zhuǎn)化為證明直線，的斜率互為相反數(shù)，只需證明，即證明.

∴

∴，∴.

解法二：要證明，可轉(zhuǎn)化為證明直線，與軸交點(diǎn)、連線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即垂直平分即可.

直線與的方程分別為：

，，

分別令，得，

而，同解法一，可得

，即垂直平分.

所以，.