【題目】已知函數(shù)f(x)= (m∈Z)為偶函數(shù),且在(0,+∞)上為增函數(shù).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)﹣ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:由函數(shù) 在(0,+∞)上為增函數(shù),
得到﹣2m2+m+3>0
解得 ,又因?yàn)閙∈Z,
所以m=0或1.
又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)
當(dāng)m=0時(shí),f(x)=x3,不滿足f(x)為偶函數(shù);
當(dāng)m=1時(shí),f(x)=x2,滿足f(x)為偶函數(shù);
所以f(x)=x2
(2)解: ,令h(x)=x2﹣ax,
由h(x)>0得:x∈(﹣∞,0)∪(a,+∞)
∵g(x)在[2,3]上有定義,
∴0<a<2且a≠1,∴h(x)=x2﹣ax在[2,3]上為增函數(shù).
當(dāng)1<a<2時(shí),g(x)max=g(3)=loga(9﹣3a)=2,
因?yàn)?<a<2,所以 .
當(dāng)0<a<1時(shí),g(x)max=g(2)=loga(4﹣2a)=2,
∴a2+2a﹣4=0,解得 ,
∵0<a<1,∴此種情況不存在,
綜上,存在實(shí)數(shù) ,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2
【解析】(1)由冪函數(shù)在(0,+∞)上為增函數(shù)且m∈Z求出m的值,然后根據(jù)函數(shù)式偶函數(shù)進(jìn)一步確定m的值,則函數(shù)的解析式可求;(2)把函數(shù)f(x)的解析式代入g(x)=loga[f(x)﹣ax],求出函數(shù)g(x)的定義域,由函數(shù)g(x)在區(qū)間[2,3]上有意義確定出a的范圍,然后分類討論使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2的a的值.
【考點(diǎn)精析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和奇偶性與單調(diào)性的綜合對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”;奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線相切.、是橢圓的左、右頂點(diǎn),直線過點(diǎn)且與軸垂直.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn),作軸于點(diǎn),延長到點(diǎn)使得,連接并延長交直線于點(diǎn),為線段的中點(diǎn),判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面底面,且,設(shè)分別為的中點(diǎn).
(1)求證:平面∥平面;
(2)求證:平面平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在(﹣∞,+∞)上的偶函數(shù),且在(﹣∞,0]上是增函數(shù),設(shè)a=f(log47),b=f(log 3),c=f(21.6),則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.c<a<b
B.c<b<a
C.b<c<a
D.a<b<c
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合P={y|y=( )x , x>0},Q={x|y=lg(2x﹣x2)},則(RP)∩Q為( )
A.[1,2)
B.(1,+∞)
C.[2,+∞)
D.[1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中, 成等差數(shù)列是的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F在軸正半軸上,準(zhǔn)線與圓相切.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)已知直線和拋物線交于點(diǎn),命題:“若直線過定點(diǎn)(0,1),則 ”,
請(qǐng)判斷命題的真假,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1,F2,且|F1F2|=,橢圓的長半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4,離心率之比為3∶7.
(1)求這兩曲線的方程;
(2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),求cos∠F1PF2的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:實(shí)數(shù)x滿足x2-5ax+4a2<0,其中a>0,命題q:實(shí)數(shù)x滿足.
(1)若a=1,且p∧q為真,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(2)若¬p是¬q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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