【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x)=x|x﹣2|.若關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0(a,b∈R)恰有10個不同實數(shù)解,則a的取值范圍為( )
A.(0,2)
B.(﹣2,0)
C.(1,2)
D.(﹣2,﹣1)
【答案】D
【解析】解:設(shè)x<0,則﹣x>0,滿足表達式f(x)=x|x﹣2|. ∴f(﹣x)=﹣x|﹣x﹣2|=﹣x|x+2|,
又∵f(x)為偶函數(shù),∴f(﹣x)=f(x),
∴f(x)=﹣x|x+2|,
故當(dāng)x<0時,f(x)=﹣x|x+2|.
則f(x)= ,
作出f(x)的圖象如圖:
設(shè)t=f(x),
由圖象知,當(dāng)t>1時,t=f(x)有兩個根,
當(dāng)t=1時,t=f(x)有四個根,
當(dāng)0<t<1時,t=f(x)有六兩個根,
當(dāng)t=0時,t=f(x)有三個根,
當(dāng)t<0時,t=f(x)有0個根,
則方程[f(x)]2+af(x)+b=0等價為t2+at+b=0,
若方程[f(x)]2+af(x)+b=0(a∈R)恰好有1個不同實數(shù)解,
等價為方程t2+at+b=0有兩不同的根,
且0<t1<1,t2=1,
則t1+t2=﹣a,
即1<t1+t2<2,
則1<﹣a<2,
即﹣2<a<﹣1,
則a的取值范圍為(﹣2,﹣1),
故選D.
【考點精析】利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇.
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【題目】定義在R上的偶函致y=f(x),恒有f(x+4)=f(x)﹣f(﹣2)成立,且f(0)=1,當(dāng)0≤x1<x2≤2時, <0,則方程f(x)﹣lg|x|=0的根的個數(shù)為( )
A.12
B.10
C.6
D.5
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【題目】已知橢圓的右焦點為,離心率為,設(shè)直線的斜率是,且與橢圓交于, 兩點.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程.
(Ⅱ)若直線在軸上的截距是,求實數(shù)的取值范圍.
(Ⅲ)以為底作等腰三角形,頂點為,求的面積.
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【題目】已知是定義在上的奇函數(shù).
(1)當(dāng)時, ,若當(dāng)時, 恒成立,求的最小值;
(2)若的圖像關(guān)于對稱,且時, ,求當(dāng)時, 的解析式;
(3)當(dāng)時, .若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某園林公司準備綠化一塊半徑為200米,圓心角為 的扇形空地(如圖的扇形OPQ區(qū)域),扇形的內(nèi)接矩形ABCD為一水池,其余的地方種花,若∠COP=α,矩形ABCD的面積為S(單位:平方米).
(1)試將S表示為關(guān)于α的函數(shù),求出該函數(shù)的表達式;
(2)角α取何值時,水池的面積 S最大,并求出這個最大面積.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知任意角θ以x軸非負半軸為始邊,若終邊經(jīng)過點P(x0 , y0),且|OP|=r(r>0),定義sicosθ= ,稱“sicosθ”為“正余弦函數(shù)”.對于正余弦函數(shù)y=sicosx,有同學(xué)得到如下結(jié)論: ①該函數(shù)是偶函數(shù);
②該函數(shù)的一個對稱中心是( ,0);
③該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ﹣ ,2kπ+ ],k∈Z.
④該函數(shù)的圖象與直線y= 沒有公共點;
以上結(jié)論中,所有正確的序號是 .
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【題目】已知常數(shù),數(shù)列的前項和為, , ;
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若,且是單調(diào)遞增數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若, ,對于任意給定的正整數(shù),是否存在正整數(shù)、,使得?若存在,求出、的值(只要寫出一組即可);若不存在,請說明理由;
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【題目】已知F1 , F2為橢圓 的左、右焦點,F(xiàn)2在以 為圓心,1為半徑的圓C2上,且|QF1|+|QF2|=2a.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)過點P(0,1)的直線l1交橢圓C1于A,B兩點,過P與l1垂直的直線l2交圓C2于C,D兩點,M為線段CD中點,求△MAB面積的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù), 的圖象在點處的切線與直線平行.
(1)求的值;
(2)若函數(shù),且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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