已知在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=
1
2
，求面SCD與面SAB的法向量以及這兩個法向量所成角的余弦值．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：空間位置關系與距離
分析：以A為原點，建立空間直角坐標系．求出平面SCD與平面SAB 的法向量
n
，
m
，向量的數(shù)量積解答．
解答： 解：以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系．因為底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=
1
2
，
則S（0，0，1），D（
1
2
，0，0），C（1，1，0），
所以
DS
=（
1
2
，0，-1），
DC
=（
1
2
，1，0），
平面SCD的一個法向量為
n
=（x，y，z），則
n
•
DS
=0
n
•
DC
=0
，即
1
2
x-z=0
1
2
x+y=0
取z=1，則
n
=（2，-1，1），
由圖可知面SAB的一個法向量為
m
=（1，0，0），則cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
||
n
|
=
2
6
=
6
3
．
點評：本題考查利用空間向量解決二面角大小，考查轉(zhuǎn)化的思想方法，空間想象能力，計算能力．體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬于常規(guī)題目．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）化簡：4x
1
4
•(-
3
x
1
8
•y-
1
6
)2÷(-6x-
1
2
•y-
2
3
)（結果保留根式形式）；
（2）計算：log3
427
3
•log5[4
1
2
log210-(3
3
)
2
3
-7log72]．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，空間四邊形ABCD中，P、Q、R分別是AB、AD、CD的中點，平面PQR交BC于點S．
求證：四邊形PQRS為平行四邊形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有甲乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次為p和q（萬元）；它們與投入資金x（萬元）的關系有經(jīng)驗函數(shù)：p=
1
5
x，q=
2
5
x
．現(xiàn)有4萬元資金投入經(jīng)營甲乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲乙兩種商品的資金投入分別應為多少？能獲得的最大利潤為多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，試求Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直線x-y+9=0上取一點M，過點M且與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1共焦點作橢圓C，問點M在何處時，橢圓C長軸長最短？并求出橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點（2，0），離心率為
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求過點（1，0）且斜率為
3
2
的直線被C所截線段的中點坐標．
（3）設A1和A2是長軸的兩個端點，直線l垂直于A1A2的延長線于點D，|OD|=4，P是l上異于點D的任意一點．直線A1P交橢圓C于M（不同于A1，A2），設λ=
A2M
•
A2P
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥CD，AB∥EF，∠BAF=∠ABC=90°，BC=CD=AF=EF=1，AB=2．
（Ⅰ） 證明：CE∥平面ADF；
（Ⅱ） 求直線DF與平面BDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設拋物線y2=4x的焦點為F，過點（
1
2
，0）的動直線交拋物線于不同兩點P，Q，線段PQ中點為M，射線MF與拋物線交于點A．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）設直線PQ的斜率為k，用k表示△APQ的面積．

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同步練習冊答案