【題目】已知直線是拋物線的準線，直線，且與拋物線沒有公共點，動點在拋物線上，點到直線和的距離之和的最小值等于2.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）點在直線上運動，過點做拋物線的兩條切線，切點分別為，在平面內是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出定點的坐標，若不存在，請說明理由．

【答案】(1) (2) 存在定點，使得恒成立

【解析】試題分析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義可得的最小值即為點到直線的距離，故，從而可得結果；（Ⅱ）設， ， ， ，利用導數(shù)得到切線斜率，可設出切線方程，根據(jù)點在切線上可得到和是一元二次方程的根，利用韋達定理以及平面向量數(shù)量積公式，可得時，從而可得結論.

試題解析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線的焦點為，

由拋物線定義知，所以，

顯見的最小值即為點到直線的距離，故，

所以拋物線的方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程為，當點在特殊位置時，顯見兩個切點關于軸對稱，故要使得，點必須在軸上．

故設， ， ， ，

拋物線的方程為，求導得，所以切線的斜率，

直線的方程為，又點在直線上，

所以，整理得，

同理可得，

故和是一元二次方程的根，由韋達定理得，

，

可見時， 恒成立，

所以存在定點，使得恒成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某教師調查了名高三學生購買的數(shù)學課外輔導書的數(shù)量，將統(tǒng)計數(shù)據(jù)制成如下表格：

男生

女生

總計

購買數(shù)學課外輔導書超過本

購買數(shù)學課外輔導書不超過本

總計

（Ⅰ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，是否有的把握認為購買數(shù)學課外輔導書的數(shù)量與性別相關；

（Ⅱ）從購買數(shù)學課外輔導書不超過本的學生中，按照性別分層抽樣抽取人，再從這人中隨機抽取人詢問購買原因，求恰有名男生被抽到的概率.

附： ， .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）

A.當時，函數(shù)在上有最小值；

B.當時，函數(shù)在上有最小值；

C.對任意的實數(shù)，函數(shù)的圖象關于點對稱；

D.方程可能有三個實數(shù)根.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的零點和極值；

（3）若對任意，都有成立，求實數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示的幾何體中，ABC﹣A1B1C1為三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（1）若AA1=AC，求證：AC1⊥平面A1B1CD；
（2）若CD=2，AA1=λAC，二面角A﹣C1D﹣C的余弦值為 ，求三棱錐C1﹣A1CD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問各自的分班情況，老師說：你們四人中有位分到班，位分到班，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的班級，給乙看丙的班級，給丁看甲的班級.看后甲對大家說：我還是不知道我的班級，根據(jù)以上信息，則（ ）

A. 乙可以知道四人的班級 B. 丁可以知道四人的班級

C. 乙、丁可以知道對方的班級 D. 乙、丁可以知道自己的班級

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐的底面是正方形，底面.

（1）求證：直線平面；

（2）當的值為多少時，二面角的大小為？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，當P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為P′（ ， ）；當P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”．現(xiàn)有下列命題：
①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A；
②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；
③若曲線C關于x軸對稱，則其“伴隨曲線”C′關于y軸對稱；
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線．
其中的真命題是（寫出所有真命題的序列）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）已知是奇函數(shù)，求常數(shù)m的值；

（2）畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程 無解？有一解？有兩解？

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