Question

【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，若集合中恰好有3個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，且，求證：數(shù)列為等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用數(shù)列與的關(guān)系可轉(zhuǎn)化條件得，由、即可得解；

（2）由題意，根據(jù)、、分類(lèi)討論，求得數(shù)列最大的四項(xiàng)即可得解；

（3）轉(zhuǎn)化條件得，結(jié)合即可得證.

（1）由題意得，

兩式相減得，由可得，

所以數(shù)列隔項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為2，

由得即，

所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

（2）由題意得，從而，

所以當(dāng)時(shí)，，，即；

當(dāng)時(shí)，，，即；

當(dāng)時(shí)，，，即；

所以，

而

又因?yàn)?/span>的解僅有3個(gè)，

所以，因此實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（3）證明：由題意得，所以，

兩式相減得，①

所以，②

②一①得，

整理得即，

由和，得，

所以，即數(shù)列為等差數(shù)列.