【題目】(本小題滿分10分)[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)=|x-a|+(a≠0)
(1)若不等式-≤1恒成立,求實數(shù)m的最大值;
(2)當a<時,函數(shù)g(x)=+|2x-1|有零點,求實數(shù)a的取值范圍
【答案】(1)1.
(2) [ - ,0 ).
【解析】分析:第一問首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式,將相應(yīng)的變量代入可得結(jié)果,之后應(yīng)用絕對值不等式的性質(zhì)得到其差值不超過,這就得到| m |≤1,解出范圍從而求得其最大值,第二問解題的方向就是向最小值靠攏,應(yīng)用最小值小于零,從而求得參數(shù)所滿足的條件,求得結(jié)果.
詳解:(Ⅰ) ∵ f (x) =|x-a|+ ,∴f(x+m)=|x+m-a|+ ,
∴f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|≤| m | ,
∴| m |≤1 , ∴-1≤ m ≤1 , ∴ 實數(shù) m 的最大值為 1 ;
( Ⅱ )當 a <時,g(x)=f(x)+|2x -1|=|x-a|+|2x-1|+
=
∴ g(x)min =g()=-a+ =≤0 ,
∴或, ∴-≤a≤0,
∴ 實數(shù) a 的取值范圍是 [ - ,0 ).
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【題目】為迎接中國共產(chǎn)黨的十九大的到來,某校舉辦了“祖國,你好”的詩歌朗誦比賽.該校高三年級準備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學生中選派4名學生參加,要求甲、乙、丙這3名同學中至少有1人參加,且當這3名同學都參加時,甲和乙的朗誦順序不能相鄰,那么選派的4名學生不同的朗誦順序的種數(shù)為( )
A. 720 B. 768 C. 810 D. 816
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【題目】甲、乙、丙三人投籃的命中率各不相同,其中乙的命中率是甲的2倍,丙的命中率等于甲與乙的命中率之和.若甲與乙各投籃一次,每人投籃相互獨立,則他們都命中的概率為0.18.
(1)求甲、乙、丙三人投籃的命中率;
(2)現(xiàn)要求甲、乙、丙三人各投籃一次,假設(shè)每人投籃相互獨立,記三人命中總次數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】棋盤上標有第、、、、站,棋子開始位于第站,棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲,若擲出正面,棋子向前跳出一站;若擲出反面,棋子向前跳出兩站,直到調(diào)到第站或第站時,游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第站的概率為.
(1)當游戲開始時,若拋擲均勻硬幣次后,求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學期望;
(2)證明:;
(3)求、的值.
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【題目】如圖①,平行四邊形中,,,,為中點.將沿折起,使平面平面,得到如圖②所示的四棱錐.
(1)求證:平面平面;
(2)求點到平面的距離.
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【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記,若集合中恰好有3個元素,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,且,求證:數(shù)列為等差數(shù)列.
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【題目】已知圓:,其圓心在拋物線:上,圓過原點且與拋物線的準線相切.
(1)求拋物線的方程;
(2)若過拋物線的焦點的直線交拋物線于,兩點,過點且垂直于直線的直線交拋物線的準線于點.求的最小值.
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【題目】某學校為了了解該校高三年級學生寒假在家自主學習的情況,隨機對該校300名高三學生寒假的每天學習時間(單位:h)進行統(tǒng)計,按照,,,,的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖計算該校高三年級學生的平均每天學習時間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表);
(Ⅱ)該校規(guī)定學習時間超過4h為合格,否則不合格.已知這300名學生中男生有140人,其中合格的有70人,請補全下表,根據(jù)表中數(shù)據(jù),能否有99.9%的把握認為該校高三年級學生的性別與學習時長合格有關(guān)?
男生 | 女生 | 總計 | |
不合格 | |||
合格 | 70 | ||
總計 | 140 | 160 | 300 |
參考公式:,其中.
參考附表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】已知拋物線的內(nèi)接等邊三角形的面積為(其中為坐標原點).
(1)試求拋物線的方程;
(2)已知點兩點在拋物線上,是以點為直角頂點的直角三角形.
①求證:直線恒過定點;
②過點作直線的垂線交于點,試求點的軌跡方程,并說明其軌跡是何種曲線.
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