【題目】已知等差數(shù)列{an}中,公差d>0,其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a2a3=45,a1+a4=14.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)通過公式bn=構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列{bn}.若{bn}也是等差數(shù)列,求非零常數(shù)c;
(3)對(duì)于(2)中得到的數(shù)列{bn},求f(n)= (n∈N*)的最大值.
【答案】(1)an=4n-3.(2) .
【解析】試題分析:
(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a3=14,解方程組可得a2=5,a3=9,于是可求得首項(xiàng)和公差,從而可得通項(xiàng)公式.(2)由題意得Sn=2n2-n,故,根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列可得2b2=b1+b3,計(jì)算可得.經(jīng)驗(yàn)證可得滿足題意.(3)由(2)可得,故可根據(jù)基本不等式求最值.
試題解析:
(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
∴a2+a3=a1+a4=14,
由,解得或.
∵公差d>0,
∴a2=5,a3=9.
∴d=a3-a2=4,a1=a2-d=1.
∴.
(2)∵Sn=na1+n(n-1)d=n+2n(n-1)=2n2-n,
∴.
∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,
∴2b2=b1+b3,
∴2·=+,
解得 (c=0舍去).
∴.
顯然{bn}成等差數(shù)列,符合題意,
∴.
(3)由(2)可得
,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.
∴f(n)的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(2)若方程上有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(3)設(shè),已知區(qū)間[a,b](a,b∈R且a<b)滿足:y=g(x)在[a,b]上至少含有100個(gè)零點(diǎn),在所有滿足上述條件的[a,b]中求b﹣a的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是()
A. “,若,則且”是真命題
B. 在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.
C. 命題“,使得”的否定是“,都有”
D. ,“”是“”的充分不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“珠算之父”程大為是我國明代偉大數(shù)學(xué)家,他的應(yīng)用數(shù)學(xué)巨著《算法統(tǒng)綜》的問世,標(biāo)志著我國的算法由籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成,程大位在《算法統(tǒng)綜》中常以詩歌的形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,其中有一首“竹筒容米”問題:“家有九節(jié)竹一莖,為因盛米不均平,下頭三節(jié)三升九,上稍四節(jié)儲(chǔ)三升,唯有中間兩節(jié)竹,要將米數(shù)次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明”((注)三升九:升,次第盛;盛米容積依次相差同一數(shù)量.)用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)求得中間兩節(jié)的容積為( )
A.升B.升C.升D.升
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:和點(diǎn),動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切,圓心的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)四邊形的頂點(diǎn)在曲線上,且對(duì)角線均過坐標(biāo)原點(diǎn),若 .
(i) 求的范圍;(ii) 求四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)積極發(fā)展電商,通過近些年工作的開展在新農(nóng)村建設(shè)和扶貧過程中起到了非常重要的作用,促進(jìn)了農(nóng)民生活富裕,為了更好地了解本地區(qū)某一特色產(chǎn)品的宣傳費(fèi) (千元)對(duì)銷量 (千件)的影響,統(tǒng)計(jì)了近六年的數(shù)據(jù)如下:
(1)若近6年的宣傳費(fèi)與銷量呈線性分布,由前5年數(shù)據(jù)求線性回歸直線方程,并寫出的預(yù)測(cè)值;
(2)若利潤(rùn)與宣傳費(fèi)的比值不低于20的年份稱為“吉祥年”,在這6個(gè)年份中任意選2個(gè)年份,求這2個(gè)年份均為“吉祥年”的概率
附:回歸方程的斜率與截距的最小二乘法估計(jì)分別為,
,其中, 為, 的平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范圍;
(2)設(shè),若對(duì)恒成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)若曲線在處的切線與直線垂直,求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè),若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù),都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若上存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某校隨機(jī)抽取200名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位:h)的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖(如圖).
編 號(hào) | 分 組 | 頻 數(shù) |
1 | [0,2) | 12 |
2 | [2,4) | 16 |
3 | [4,6) | 34 |
4 | [6,8) | 44 |
續(xù) 表
編 號(hào) | 分 組 | 頻 數(shù) |
5 | [8,10) | 50 |
6 | [10,12) | 24 |
7 | [12,14) | 12 |
8 | [14,16) | 4 |
9 | [16,18] | 4 |
合計(jì) | 200 |
(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生,試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12 h的概率;
(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值;
(3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,試估計(jì)樣本中的200名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組.
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