Question

【題目】已知圓：和點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切，圓心的軌跡為曲線．

(Ⅰ)求曲線的方程；

(Ⅱ)四邊形的頂點(diǎn)在曲線上，且對角線均過坐標(biāo)原點(diǎn)，若 .

(i) 求的范圍；(ii) 求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（I） ；（II）(i) ， (ii)

【解析】

（I）求出圓M的圓心，半徑，通過動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)N且與圓M相切，設(shè)動(dòng)圓P半徑為r，則 |PM|．曲線E是M，N為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓．求解即可;

(Ⅱ)把直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示及目標(biāo)即可得到結(jié)果.

（I）圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)在圓內(nèi)，因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切，所以動(dòng)圓與圓內(nèi)切。設(shè)動(dòng)圓半徑為，則 .

因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)，所以, ,所以曲線E是M，N為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓. 由，得，所以曲線的方程為．

（II）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，，所以的最大值為2.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)

聯(lián)立，得

,

∵

=

因此，

(ii)設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則

.