Question

某學(xué)校高三年級有學(xué)生1000名，經(jīng)調(diào)查研究，其中750名同學(xué)經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為A類同學(xué)），另外250名同學(xué)不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為B類同學(xué)），現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類、B類分二層）從該年級的學(xué)生中共抽查100名同學(xué)．
（Ⅰ）求甲、乙兩同學(xué)都被抽到的概率，其中甲為A類同學(xué)，乙為B類同學(xué)；
（Ⅱ）測得該年級所抽查的100名同學(xué)身高（單位：厘米）頻率分布直方圖如右圖：
（�。┙y(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值（例如區(qū)間[160，170）的中點(diǎn)值為165）作為代表．據(jù)此，計(jì)算這100名學(xué)生身高數(shù)據(jù)的期望μ及標(biāo)準(zhǔn)差φ（精確到0.1）；
（ⅱ）若總體服從正態(tài)分布，以樣本估計(jì)總體，據(jù)此，估計(jì)該年級身高在（158.6，181.4）范圍中的學(xué)生的人數(shù)．
（Ⅲ）如果以身高達(dá)170cm作為達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的100名學(xué)生，得到下列聯(lián)表：
體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)2×2列聯(lián)表

	身高達(dá)標(biāo)	身高不達(dá)標(biāo)	總計(jì)
積極參加體育鍛煉	40
不積極參加體育鍛煉		15
總計(jì)			100

（�。┩瓿缮媳�；
（ⅱ）請問有多大的把握認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系？
參考公式：K²=

π(ac-bd)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

分析：（1）要求甲、乙兩同學(xué)都被抽到的概率，我們要根據(jù)從學(xué)生1000名，抽查100名同學(xué)，先計(jì)算出甲被抽中的概率，及乙被抽中的概率，然后再根據(jù)分步原理求出結(jié)果．
（2）按照分層抽樣中，樣本中的比例與總體中的比例一致，易得表中各項(xiàng)數(shù)據(jù)的值，然后我們可以根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，代入公式K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，計(jì)算出k值，然后代入離散系數(shù)表，比較即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均為

1

10

，
且事件“甲同學(xué)被抽到”與事件“乙同學(xué)被抽到”相互獨(dú)立，
故甲、乙兩工人都被抽到的概率P=

1

10

×

1

10

=

1

100

（Ⅱ）（�。┛傮w數(shù)據(jù)的期望約為：
μ=145×0.03+155×0.17+165×0.30+175×0.30+185×0.17+195×0.03=170（cm）
標(biāo)準(zhǔn)差σ²=（145-170）²×0.03+（155-170）²×0.17+（165-170）²×0.3
+（175-170）²×0.3+（185-170）²×0.17+（195-170）²×0.03=129
∴σ=

129

=11.4
（ⅱ）由于μ=170，σ≈11.4
當(dāng)身高x∈（158.6，181.4）時，即x∈（μ-σ，μ+σ）
故身高落∈（158.6，181.4）中的概率為0.6826．
故身高落∈（158.6，181.4）中的人數(shù)為683人．
（Ⅲ）（�。�

	身高達(dá)標(biāo)	身高不達(dá)標(biāo)	總計(jì)
積極參加體育鍛煉	40	35	75
不積極參加體育鍛煉	10	15	25
總計(jì)	50	50	100

（ⅱ）K²=

100(40×15-35×10)2

75×25×50×50

≈1.33
故有75%把握認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系

點(diǎn)評：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用的步驟為：根據(jù)已知條件將數(shù)據(jù)歸結(jié)到一個表格內(nèi)，列出列聯(lián)表，再根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，代入公式K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，計(jì)算出k值，然后代入離散系數(shù)表，比較即可得到答案．