【題目】如圖,三棱柱中,側面為菱形且, , 分別為和的中點, , , .
(Ⅰ)證明:直線∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(I)見解析;(II).
【解析】試題分析:(I)取中點,可證, , 兩兩互相垂直,建立以為原點, 分別為軸,建立空間直角坐標系,得出各點坐標,可求與平面的法向量,利用兩向量垂直可證結論;(II)先求出二面角兩半平面的法向量,利用法向量夾角與二面角平面角間關系可得結果.
試題解析:解法一:∵,且為中點, ,∴,
又 , ,∴ , ,
又 ,∴平面,
取中點,則,即, , 兩兩互相垂直,
以為原點, 分別為軸,建立空間直角坐標系如圖(4), ∴, , , , , ,
(I) ,設平面的法向量為 ,
則,取,
∵,∴,
又平面, ∴直線∥平面.
(II) 設平面的法向量為, ,
則 ,取,
又由(Ⅰ)知平面的法向量為,設二面角為,
∴,
∵ 二面角為銳角,∴ 二面角的余弦值為.
解法二:取中點,則,即,以為原點, , 分別為軸,
建立空間直角坐標系如圖(5),設點,
又, ,
∴,即,∴ ,
由 , , 可得:
,解得,
∴, , ,
下同解法二.
解法三:(Ⅰ)如圖(6),取中點,連接,則有,
∴為平行四邊形, ∴∥,
又平面, 平面,∴ 直線∥平面.
(Ⅱ)由各棱長,易得,∴平面,
取中點,連接,過作于,連接,
如圖(8),可證: 平面,
證明平面,可得,
故為所求的二面角的平面角,
在中,求得: ,故所求的二面角的余弦值為.
解法四:
(Ⅰ)如圖(7),取中點,由∥,
平面,∴ 直線∥平面,
由∥, 平面,
∴ 直線∥平面,
又,∴平面∥平面,
又平面, ∴ 直線∥平面.
(Ⅱ)同解法一.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=xln(x+ (a>0)為偶函數(shù).
(1)求a的值;
(2)求g(x)=ax2+2x+1在區(qū)間[﹣6,3]上的值域.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中點.
(1)求證:A1B∥平面ADC1;
(2)若AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,求幾何體ABD﹣A1B1C1的體積.
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【題目】某工廠的污水處理程序如下:原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理,處理后的污水(A級水)達到環(huán)保標準(簡稱達標)的概率為.經(jīng)化驗檢測,若確認達標便可直接排放;若不達標則必須進行B系統(tǒng)處理后直接排放.
某廠現(xiàn)有個標準水量的A級水池,分別取樣、檢測. 多個污水樣本檢測時,既可以逐個化驗,也可以將若干個樣本混合在一起化驗.混合樣本中只要有樣本不達標,則混合樣本的化驗結果必不達標.若混合樣本不達標,則該組中各個樣本必須再逐個化驗;若混合樣本達標,則原水池的污水直接排放.
現(xiàn)有以下四種方案,
方案一:逐個化驗;
方案二:平均分成兩組化驗;
方案三:三個樣本混在一起化驗,剩下的一個單獨化驗;
方案四:混在一起化驗.
化驗次數(shù)的期望值越小,則方案的越“優(yōu)”.
(Ⅰ) 若,求個A級水樣本混合化驗結果不達標的概率;
(Ⅱ) 若,現(xiàn)有個A級水樣本需要化驗,請問:方案一,二,四中哪個最“優(yōu)”?
(Ⅲ) 若“方案三”比“方案四”更“優(yōu)”,求的取值范圍.
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【題目】已知f(x)= ,當點M(x,y)在y=f(x)的圖象上運動時,點N(x﹣2,ny)在函數(shù)y=gn(x)的圖象上運動(n∈N*).
(1)求y=gn(x)的表達式;
(2)若方程g1(x)=g2(x﹣2+a)有實根,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)設 ,函數(shù)F(x)=H1(x)+g1(x)(0<a≤x≤b)的值域為 ,求實數(shù)a,b的值.
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【題目】已知空間三點A(0,2,3),B(﹣2,1,6),C(1,﹣1,5);求:
(1)求以向量 為一組鄰邊的平行四邊形的面積S;
(2)若向量a分別與向量 垂直,且|a|= ,求向量a的坐標.
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【題目】設集合A={x|2a﹣1≤x≤a+3},集合B={x|x<﹣1或x>5}.
(1)當a=﹣2時,求A∩B;
(2)若AB,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列中, , , .數(shù)列的前n項和為,滿足, .
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)數(shù)列能否為等差數(shù)列?若能,求其通項公式;若不能,試說明理由;
(3)若數(shù)列是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列,設,則當, , 和, , 均成等差數(shù)列時,求正整數(shù), , 的值.
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【題目】已知函數(shù) =f(2x)
(1)用定義證明函數(shù)g(x)在(﹣∞,0)上為減函數(shù).
(2)求g(x)在(﹣∞,﹣1]上的最小值.
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