【題目】已知數(shù)列中, , .?dāng)?shù)列的前n項和為,滿足

(1)求數(shù)列的通項公式;

(2)數(shù)列能否為等差數(shù)列?若能,求其通項公式;若不能,試說明理由;

(3)若數(shù)列是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列,設(shè),則當(dāng), , 均成等差數(shù)列時,求正整數(shù), , 的值.

【答案】(1), . (2),或

(3)存在 , , 滿足條件.

【解析】試題分析:

(1)利用遞推公式構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列可求得數(shù)列的通項公式為.

(2)假設(shè)數(shù)列可以是等差數(shù)列,分類討論可得,或.

(3)由題意討論r,s,t的關(guān)系,構(gòu)造函數(shù),

結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)討論可得存在, , , , 滿足條件.

試題解析:

(1)由,得,

,所以是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,

,故,

(2)由,得,

兩式相減得,即.①

是等差數(shù)列,設(shè)公差為,則,

因為,所以

,即,

解得,或

當(dāng)時, ,滿足條件;

當(dāng)時, ,也滿足條件

,或

(3)由是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列,得②,

, ,

故由①式可得,所以

又由①式可知是偶數(shù),所以

代入①式得,所以是等差數(shù)列.

由(2)知, ,

所以

,由正整數(shù),知,

當(dāng)時,

因此要式成立,只能有

式得,

, ,所以,

顯然是方程的解.

當(dāng)時,設(shè)函數(shù)

,

上是增函數(shù),所以方程僅有兩解

因此,存在 , , 滿足條件.

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