Question

【題目】已知函數(shù) =f（2x）
（1）用定義證明函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)．
（2）求g（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明： ，

∵2x﹣1≠0x≠0，∴函數(shù)g（x）的定義域{x|x∈R且x≠0}，

設(shè)x1，x2∈（﹣∞，0）且x1＜x2，

則 ，

∵x1，x2∈（﹣∞，0）且x1＜x2，

∴ 且 ，

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知：函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)

（2）解：由（1）知函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，

∴函數(shù)g（x）在（﹣∞，﹣1]上為減函數(shù)，

∴當x=﹣1時，

【解析】（1）設(shè)x1 ， x2∈（﹣∞，0）且x1＜x2 ， 通過作差比較g（x1），g（x2）的大小關(guān)系，根據(jù)減函數(shù)定義只需說明g（x1）＞g（x2）即可；（2）根據(jù)第（1）問結(jié)論說明g（x）在（﹣∞，﹣1]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求得其最小值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能得出正確答案．