Question

（1）在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓

x=5cos? y=3sin?

（φ為參數(shù)）的右焦點且與直線

x=4-2t y=3-t

（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程；
（2）求直線

x=1+4t y=-1-3t

（t為參數(shù)）被曲線ρ=

2

cos(θ+

π

4

)所截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）求出橢圓

x=5cos? y=3sin?

（φ為參數(shù)）的普通方程、可得右焦點坐標，再求出直線

x=4-2t y=3-t

（t為參數(shù)）的斜率，用點斜式求得所求直線的普通方程．
（2）直線

x=1+4t y=-1-3t

（t為參數(shù)）即 3x+4y+1=0，曲線ρ=

2

cos(θ+

π

4

)即 (x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，表示圓心為C（

1

2

，-

1

2

）、半徑等于

2

2

的圓，求出圓心到直線的距離，
再由弦長公式可得弦長．

解答：解：（1）橢圓

x=5cos? y=3sin?

（φ為參數(shù)）的普通方程為

x2

25

+

y2

9

=1，右焦點為F（4，0），
直線

x=4-2t y=3-t

（t為參數(shù)）的斜率等于

1

2

，故所求直線的普通方程為y-0=

1

2

（x-4），
化簡可得所求直線的普通方程為x-2y-4=0．
（2）直線

x=1+4t y=-1-3t

（t為參數(shù)）即 3x+4y+1=0．
曲線ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，即ρ²=

2

ρ （cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

）=ρcosθ-ρsinθ，
即 x²+y²=x-y，即 (x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，表示圓心為C（

1

2

，-

1

2

），半徑等于

2

2

的圓．
圓心C到直線3x+4y+1=0 的距離d=

| 3 2 - 4 2 +1|

9+16

=

1

10

，
由弦長公式可得弦長等于2

r2 -d2

=

7

5

．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式、弦長公式的應(yīng)用，直線和橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．