Question

【題目】已知數(shù)列中， ， ， ．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足， ．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列能否為等差數(shù)列？若能，求其通項(xiàng)公式；若不能，試說明理由；

（3）若數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，設(shè)，則當(dāng)， ， 和， ， 均成等差數(shù)列時(shí)，求正整數(shù)， ， 的值．

Answer 1

【答案】（1）， ． （2），或．

（3）存在， ， 或， ， 滿足條件．

【解析】試題分析：

(1)利用遞推公式構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

(2)假設(shè)數(shù)列可以是等差數(shù)列，分類討論可得，或.

(3)由題意討論r,s,t的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，

結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)討論可得存在， ， 或， ， 滿足條件．

試題解析：

（1）由，得，

又，所以是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，

則，故， ．

（2）由，得，

兩式相減得，即．①

若是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，

因?yàn)?/span>，所以．

又，即，

解得，或．

當(dāng)時(shí)， ，滿足條件；

當(dāng)時(shí)， ，也滿足條件．

故，或．

（3）由是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，得②，

故， ，

故由①式可得，所以．

又由①式可知是偶數(shù)，所以．

代入①式得，所以是等差數(shù)列．

由（2）知， ，

所以．

若 ，由正整數(shù)，知， ．

當(dāng)時(shí)，

．

因此要式成立，只能有．

由式得，

即．

又， ，所以，

顯然是方程的解．

當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，

則，

故在上是增函數(shù)，所以方程僅有兩解．

因此，存在， ， 或， ， 滿足條件．