【題目】首項為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an1=(a+3),n∈N*.
(1)證明:若a1為奇數(shù),則對一切n≥2,an都是奇數(shù);
(2)若對一切n∈N*都有an1>an , 求a1的取值范圍.

【答案】
(1)

【解答】

證明:已知a1是奇數(shù),假設ak=2m-1是奇數(shù),其中m為正整數(shù),則由遞推關系得 是奇數(shù).

根據(jù)數(shù)學歸納法,對任意n∈N*,an都是奇數(shù)


(2)

【解答】

由an+1-an=(an-1)(an-3)知

當且僅當an<1或an>3時,an+1>an,

另一方面,若0<ak<1,

則0<ak+1<=1;

若ak>3,則ak+1>.

根據(jù)數(shù)學歸納法可知,

綜上所述,對一切n∈N*,都有an1>an的充要條件是0<a1<1或a1>3.


【解析】一般地,證明一個與正整數(shù)n有關的命題,可按下列步驟進行:(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值時命題成立;(2)(歸納遞推)假設n=k(k≥n0,k∈N+)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.
只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學歸納法
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)學歸納法的步驟的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握

  1. :A.n=1(或成立,推的基;B.n=k成立; C.n=k+1也成立,完成兩步,就可以斷定任何自然數(shù)(n>=,)結(jié)論都成立

練習冊系列答案
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【題目】已知。

(1)曲線在點處的切線的斜率小于,求的單調(diào)區(qū)間;

(2)對任意的,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),求 的取值范圍。

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【題目】某蛋糕店出售一種蛋糕,這種蛋糕的保質(zhì)期很短,必須當天賣掉,否則容易變質(zhì),該蛋糕店每天以每塊16元的成本價格制作這種蛋糕若干塊,然后以每塊26元的價格出售,如果當天賣不完,剩下的蛋糕只能以每塊6元低價出售.蛋糕店記錄了100天該種蛋糕的日需求量n(單位:塊,n∈N*)整理得如圖:
(1)若該蛋糕店某一天制作19塊蛋糕,求當天的利潤y(單位:元)關于當天需求量n的函數(shù)解析式;
(2)若要求出售“出售的蛋糕塊數(shù)不小于n”的頻率不小于0.4,求n的最大值.
(3)若該蛋糕店這100天每天都制作19塊蛋糕,試計算這100天蛋糕店所獲利潤的平均數(shù).

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【題目】某學校制定學校發(fā)展規(guī)劃時,對現(xiàn)有教師進行年齡狀況和接受教育程度(學歷)的調(diào)查,其結(jié)果(人數(shù)分布)如表:

學歷

35歲以下

35至50歲

50歲以上

本科

80

30

20

研究生

x

20

y

(Ⅰ)用分層抽樣的方法在35至50歲年齡段的教師中抽取一個容量為5的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任取2人,求至少有l(wèi)人的學歷為研究生的概率;
(Ⅱ)在該校教師中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個人,其中35歲以下48人,50歲以上10人,再從這N個人中隨機抽取l人,此人的年齡為50歲以上的概率為 ,求x、y的值.

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【題目】已知點Pn(an , bn)滿足an1=an·bn1 , bn1=(n∈N*)且點P1的坐標為(1,-1).
(1)求過點P1 , P2的直線l的方程;
(2)試用數(shù)學歸納法證明:對于n∈N* , 點Pn都在(1)中的直線l上.

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【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義在[﹣4,4]上的偶函數(shù),且f(x)= ,則不等式(1﹣2x)g(log2x)<0的解集用區(qū)間表示為

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【題目】設全集為R,函數(shù)f(x)= 的定義域為M,則RM=(
A.(﹣∞,﹣1)
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C.(1,+∞)
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【題目】函數(shù)y=f(x)是定義在a,b上的增函數(shù),其中a,b∈R且0<b<﹣a,已知y=f(x)無零點,設函數(shù)F(x)=f2(x)+f2(﹣x),則對于F(x)有以下四個說法:
①定義域是[﹣b,b];②是偶函數(shù);③最小值是0;④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.
其中正確的有(填入你認為正確的所有序號)

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