Question

1．某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據(jù)統(tǒng)計資料預測，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25，乙河流發(fā)生洪水的概率為0.18，（假設兩河流發(fā)生洪水與否互不影響）．現(xiàn)有一臺大型設備正在該地工作，為了保護設備，施工部門提出以下兩種方案：
方案1：建一保護圍墻，需花費1000元，但圍墻只能抵御一個河流發(fā)生的洪水，當兩河流同時發(fā)生洪水時，設備仍將受損，損失約56000元；
方案2：不采取措施，此時，當兩條河流都發(fā)生洪水時損失為60000元，只有一條河流發(fā)生洪水時，損失為10000元．
（Ⅰ）試求方案2中損失費ξ（隨機變量）的分布列及期望；
（Ⅱ）試比較哪一種方案好．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在方案2中，記“甲河流發(fā)生洪水“為事件A，“乙河流發(fā)生洪水“為事件B，則P（A）=0.25，P（B）=0.18，由此能求出方案2中損失費ξ（隨機變量）的分布列及期望．（Ⅱ）對方案1來說，建圍墻需花費1000元，它只能抵御一條河流的洪水，求出該方案中可能的花費，從而得到方案1最好．

解答 解：（Ⅰ）在方案2中，記“甲河流發(fā)生洪水“為事件A，“乙河流發(fā)生洪水“為事件B，
則P（A）=0.25，P（B）=0.18，
∴有且只有一條河流發(fā)生洪水的概率為：
P（A$\overline{B}$+$\overline{A}$B）=P（A）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）P（B）=0.25×（1-0.18）+（1-0.25）×0.18=0.34，
兩河流同時發(fā)生洪水的概率為P（AB）=0.25×0.18=0.045，
都不發(fā)生洪水的概率為P（$\overline{A}\overline{B}$）=（1-0.25）（1-0.18）=0.615，
設損失費為隨同變量ξ，則ξ的分布列為：

ξ	10000	60000	0
P	0.34	0.045	0.615

E（ξ）=10000×0.34+60000×0.045+0×0.615=6100（元）．
（Ⅱ）對方案1來說，建圍墻需花費1000元，它只能抵御一條河流的洪水，
但當兩河流都有發(fā)生洪水時，損失約56000元，
而兩河流同時發(fā)生洪水的概率為p=0.25×0.18=0.045，
∴該方案中可能的花費為1000+56000×0.045=3520．
對于方案2，由（1）知損失費的數(shù)學期望為6100元，
比較知方案1最好．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，考查數(shù)學期望的應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．