Question

在如圖所示的多面體中，四邊形ABB₁A₁和ACC₁A₁都為矩形．AA₁=1，AC=

2

，AB=2，設D，E分別是線段BC，CC₁的中點．
（1）若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）設點M為線段AB的中點，證明：直線DE∥平面A₁MC；
（3）在（1）條件下，求點D到平面A₁B₁E₁的距離．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）先證明AA₁⊥平面ABC，可得AA₁⊥BC，利用AC⊥BC，可以證明直線BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）取AB的中點M，連接A₁M，MC，A₁C，AC₁，證明四邊形MDEO為平行四邊形即可．
（3）由（1）可證A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，由題意可得

1

3

VD-A1B1E=

1

3

S△B1DE•A1C1，又可求A₁E，B₁E，從而求得S△A1B1E，S△B1DE，由體積公式即可求得
點D到平面A₁B₁E的距離．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）因為四邊形ABB₁A₁和ACC₁A₁都是矩形，
所以AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．…（1分）
因為AB，AC為平面ABC內的兩條相交直線，
所以AA₁⊥平面ABC．因為直線BC?平面ABC內，所以AA₁⊥BC．…（3分）
又由已知，AC⊥BC，AA₁，AC為平面ACC₁A₁內的兩條相交直線，
所以，BC⊥平面ACC₁A₁．…（5分）
（2）因為點M為線段AB的中點，連接A₁M，MC，A₁C，AC₁，連接OM，
設O為A₁C，AC₁的交點．由已知，O為AC₁的中點．…（6分）
連接MD，OE，則MD，OE分別為△ABC，△ACC₁的中位線．
所以，MD∥AC，OE∥AC且MD=

1

2

AC，OE=

1

2

AC，…（7分）
所以MD∥OE且MD=OE                                               …（8分）
從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE∥MO．
因為直線DE?平面A₁MC，MO?平面A₁MC，所以直線DE∥平面A₁MC   …（9分）
（3）由（1）BC⊥平面ACC₁A₁，所以BC⊥A₁C₁，
又CC₁⊥A₁C₁，CC₁∩BC=C所以A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，…（10分）
由題意VD-A1B1E=VA1-B1DE，所以

1

3

VD-A1B1E=

1

3

S△B1DE•A1C1，…（11分）
A₁E=B₁E=

( 2 )2+( 1 2 )2

=

3

2

，所以S△A1B1E=

1

2

×2×

5

2

=

5

2

，…（12分）
S△B1DE=SBCC1B1-S△B1C1E-S△EB1D-S_△DCE=

2

-

2

4

-

2

4

-

2

8

=

3 2

8

，…（13分）
所以

1

3

•

5

2

•h=

1

3

•

3 2

8

•

2

，
所以h=

3 5

10

，點D到平面A₁B₁E的距離為

3 5

10

．…（14分）

點評：本題考查線面垂直的判定與性質的運用，考查存在性問題，考查學生分析解決問題的能力，考查了轉化思想，屬于中檔題．