Question

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求BF與平面ABCD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由線面垂直得BF⊥AE，從而平面ABCD⊥平面ABE，由BC⊥AB，得BC⊥平面ABE，從而BC⊥AE，由此能證明AE⊥平面BCE．
（2）取AB的中點O，連結(jié)OC、OE，過F作FG∥OE，交OC于G，由已知得∠FBG為BF與平面ABCD所成的角，由此能求出BF與平面ABCD所成的角的正弦值．

解答： （1）證明：∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥AE，
∵二面角D-AB-E為直二面角，
∴平面ABCD⊥平面ABE，
又BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABE，
∴BC⊥AE，
又BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC=B，
∴AE⊥平面BCE．

（2）解：取AB的中點O，連結(jié)OC、OE，過F作FG∥OE，交OC于G，
∵二面角D-AB-E為直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，
∴OE⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∴∠FBG為BF與平面ABCD所成的角，
由（1）知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，
又AE=EB，AB=2，AE=BE=

2

，EO=1，
在直角三角形BCE中，CE=

BC2+BE2

=

6

，
BF=

BC•BE

CE

=

2 2

6

=

2

3

，F(xiàn)C=

2 6

3

，
∴FG=

2

3

OE=

2

3

，
在直角三角形BGF中，sin∠FBG=

FG

BF

=

2 3

2 3

=

3

3

，
∴BF與平面ABCD所成的角的正弦值為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的性質(zhì)定理、勾股定理、二面角的求解等基礎(chǔ)知識和空間向量的立體幾何中的應(yīng)用，意在考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力．