Question

已知函數(shù)f（x）=

3-|x-3|(x≤6) 1 2 f(x-6)(x＞6)

，則函數(shù)g（x）=xf（x）-9的零點個數(shù)是（　　）

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：函數(shù)g（x）=xf（x）-9的零點個數(shù)
即y=f（x）-

9

x

的零點個數(shù)
可轉(zhuǎn)化為：f（x）與h（x）=

9

x

的交點個數(shù)，
畫出圖象，結(jié)合圖象，利用導數(shù)判斷即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

3-|x-3|(x≤6) 1 2 f(x-6)(x＞6)

，
∴函數(shù)g（x）=xf（x）-9的零點個數(shù)
即y=f（x）-

9

x

的零點個數(shù)
可轉(zhuǎn)化為：f（x）與h（x）=

9

x

的交點個數(shù)，
∵h′（x）=-

9

x2

，h′（3）=-1，點（3，3）的切線為：y=6-x，
∴再點（3，3）附近沒有其他的交點，
∴從圖中可以判斷出：f（x）與h（x）=

9

x

的交點個數(shù)為6，
故選：A

點評：本題考查了分段函數(shù)，復雜函數(shù)的零點問題，利用函數(shù)圖象判斷即可，屬于難題，關(guān)鍵是畫圖，必要時可以運用導數(shù)判斷．