Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，拋物線y²=4x與橢圓C在第一象限的交點到x=-1的距離為-3+3

2

．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中點M在直線x=-

1

2

上，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在點M，使以PQ為直徑的圓經過點F₂，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設橢圓C的方程為：

x2

2b2

+

y2

b2

=1，由已知條件得

(-4+3 2 )2

2b2

+

-16+12 2

b2

=1，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設存在點M（-

1

2

，m），m≠0．設直線AB的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x12 2 +y1=1 x22 2 +y22=1

，得（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）•

y1-y2

x1-x2

=0，直線PQ的直線方程為y=-4mx-m．聯(lián)立

y=-4mx-m x2 2 +y2=1

，得（32m²+1）x²+16m²x+2m²-2=0．由此能求出存在兩點M符合條件，坐標為M（-

1

2

，-

19

19

）和M（-

1

2

，

19

19

）．

解答： 解：（Ⅰ）∵F₁，F(xiàn)₂是離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，
∴設橢圓C的方程為：

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
設拋物線y²=4x和橢圓C的交點為（x，y），
∵拋物線y²=4x與橢圓C在第一象限的交點到x=-1的距離為-3+3

2

，
∴x=-4+3

2

，y²=-16+12

2

，
代入橢圓方程：

(-4+3 2 )2

2b2

+

-16+12 2

b2

=1，解得b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）當直線AB垂直于x軸時，直線AB的方程為x=

1

2

，
此時P（-

2

，0），Q（

2

，0），

F2P

•

F2Q

=-1，不合題意．
當直線AB不垂直于x軸時，設存在點M（-

1

2

，m），m≠0．
設直線AB的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x12 2 +y1=1 x22 2 +y22=1

，得（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）•

y1-y2

x1-x2

=0，
則-1+4mk=0，∴k=

1

4m

，此時，直線PQ的斜率為k₁=-4m，
PQ的直線方程為y-m=-4m（x+

1

2

），即y=-4mx-m．
聯(lián)立

y=-4mx-m x2 2 +y2=1

，消去y，整理，得（32m²+1）x²+16m²x+2m²-2=0．
∴x1+x2=-

16m2

32m2+1

，x₁x₂=

2m2-2

32m2+1

，
由題意

F2P

•

F2Q

=0，
∴

F2P

•

F2Q

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+（4mx₁+m）（4mx₂+m）
=（1+16m²）x₁x₂+（4m²-1）（x₁+x₂）+1+m²
=

(1+16m2)(2m2-2)

32m2+1

+

(4m2-1)(-16m2)

32m2+1

+1+m²
=

19m2-1

32m2+1

=0，解得m=±

19

19

．
∵M在橢圓內，
∴m²＜

7

8

，∴m=±

19

19

符合條件．
綜上所述，存在兩點M符合條件，坐標為M（-

1

2

，-

19

19

）和M（-

1

2

，

19

19

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點的坐標是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量知識的合理運用．