Question

甲乙兩個(gè)學(xué)校高三年級學(xué)生比為11：10，為了了解兩個(gè)學(xué)校全體高三年級學(xué)生在省統(tǒng)考的數(shù)學(xué)成績情況，采用分層抽樣方法從兩個(gè)學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表，規(guī)定考試成績在[120，150]內(nèi)為優(yōu)秀．
甲校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數(shù)	2	3	10	15
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
頻數(shù)	15	x	3	1

乙校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數(shù)	1	2	9	8
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
頻數(shù)	10	10	y	3

（1）計(jì)算x，y的值，并根據(jù)抽樣結(jié)果分別估計(jì)甲校和乙校的優(yōu)秀率；
（2）若把頻率作為概率，現(xiàn)從乙校學(xué)生中任選3人，求優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)條件知道從甲校和乙校各自抽取的人數(shù)，做出頻率分布表中的未知數(shù)，依據(jù)頻率分布表估計(jì)出兩個(gè)學(xué)校的優(yōu)秀率．
（2）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3．結(jié)合變量對應(yīng)的事件和ξ～B（3，

2

5

），寫出變量的概率，做出變量的分布列，再求出變量的期望值．

解答： 解：（1）依題甲校抽取55人，乙校抽取50，故x=6，y=7；
甲校優(yōu)秀率為

10

55

=

2

11

，乙校優(yōu)秀率為

20

50

=

2

5

；
（2）ξ=0，1，2，3，ξ～B(3，

2

5

)，P(ξ=0)=

C

0 3

(

2

5

)0(1-

2

5

)3=

27

125

；P(ξ=1)=

C

1 3

(

2

5

)1(1-

2

5

)2=

54

125

；P(ξ=2)=

C

2 3

(

2

5

)2(1-

2

5

)1=

36

125

；P(ξ=3)=

C

3 3

(

2

5

)3(1-

2

5

)0=

8

125

；
分布列：

ξ	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

期望：E(ξ)=3×

2

5

=

6

5

．

點(diǎn)評：本題考查頻數(shù)分布表的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．