【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)討論的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)在上無零點(diǎn),求的取值范圍.
【答案】(1) (2) 當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(3)
【解析】試題分析:(1) 求得,求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo),求出的值,可得切線斜率,利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)分時(shí), 時(shí)兩種情況討論,求出,分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(3)時(shí), 時(shí), 時(shí),分別求出,令即可得到的取值范圍.
試題解析:(1) 時(shí), ,
∴,故切點(diǎn)為.
又,∴,
故切線方程為,即.
(2) ,
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),令得, (舍),
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,即在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
綜上所述:當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(3)由(2)知:當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減, ,
此時(shí)在上無零點(diǎn);
當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
,解得.
∴,此時(shí)在上無零點(diǎn);
當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增, ,無解.
綜上所述, .
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn),屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出在處的導(dǎo)數(shù),即在點(diǎn) 出的切線斜率(當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí),在 處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為);(2)由點(diǎn)斜式求得切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若,求直線的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線的斜率為,直線與曲線相交于兩點(diǎn),點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某調(diào)查機(jī)構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖,則下列結(jié)論中不正確的是( )
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.
A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上
B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的
C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多
D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某次數(shù)學(xué)知識比賽中共有6個(gè)不同的題目,每位同學(xué)從中隨機(jī)抽取3個(gè)題目進(jìn)行作答,已知這6個(gè)題目中,甲只能正確作答其中的4個(gè),而乙正確作答每個(gè)題目的概率均為,且甲、乙兩位同學(xué)對每個(gè)題目的作答都是相互獨(dú)立、互不影響的.
(1)求甲、乙兩位同學(xué)總共正確作答3個(gè)題目的概率;
(2)若甲、乙兩位同學(xué)答對題目個(gè)數(shù)分別是,,由于甲所在班級少一名學(xué)生參賽,故甲答對一題得15分,乙答對一題得10分,求甲乙兩人得分之和的期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)國家“精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧”的號召,某貧困縣在精準(zhǔn)推進(jìn)上下功夫,在精準(zhǔn)扶貧上見實(shí)效.根據(jù)當(dāng)?shù)貧夂蛱攸c(diǎn)大力發(fā)展中醫(yī)藥產(chǎn)業(yè),藥用昆蟲的使用相應(yīng)愈來愈多,每年春暖以后到寒冬前,昆蟲大量活動(dòng)與繁殖,易于采取各種藥用昆蟲.已知一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(單位:個(gè))與一定范圍內(nèi)的溫度(單位:)有關(guān),于是科研人員在月份的天中隨機(jī)選取了天進(jìn)行研究,現(xiàn)收集了該種藥物昆蟲的組觀察數(shù)據(jù)如表:
日期 | 日 | 日 | 日 | 日 | 日 |
溫度 | |||||
產(chǎn)卵數(shù)個(gè) |
(1)從這天中任選天,記這天藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)分別為、,求“事件,均不小于”的概率?
(2)科研人員確定的研究方案是:先從這組數(shù)據(jù)中任選組,用剩下的組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程,再對被選取的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
①若選取的是月日與月日這組數(shù)據(jù),請根據(jù)月日、日和日這三組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程?
②若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的差的絕對值均不超過個(gè),則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問①中所得的線性回歸方程是否可靠?
附公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著生活節(jié)奏的加快以及停車日益困難,網(wǎng)約車越來越受到大眾的歡迎.某網(wǎng)約車公司為了了解客戶對公司的滿意度,通過網(wǎng)絡(luò)問卷的方式,隨機(jī)調(diào)查了2000個(gè)客戶,并通過隨機(jī)抽樣得到100個(gè)樣本數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)后,得到如下頻率分布表:
分組 | |||||||
頻數(shù) | 6 | 12 | 19 | 25 | 20 | 13 | 5 |
(1)根據(jù)頻率分布表,可以認(rèn)為滿意度,其中近似看作是這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均值,利用正態(tài)分布,求;
(2)該公司為參加網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查的客戶提供了抽獎(jiǎng)活動(dòng),活動(dòng)規(guī)則:①若滿意度不低于,可抽獎(jiǎng)2次;若滿意度低于,可抽獎(jiǎng)1次;②每次抽獎(jiǎng)可獲得的優(yōu)惠券金額為10元或20元,相應(yīng)的概率均為.求參與網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查的客戶人均可獲得優(yōu)惠券金額(單位:元).
(附:參考數(shù)據(jù)與公式:若,則,,.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著時(shí)代的發(fā)展,A城市的競爭力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日,某報(bào)社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷,參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:
來A城市發(fā)展的理由 | 人數(shù) | 合計(jì) | |
自然環(huán)境 | 1.森林城市,空氣清新 | 200 | 300 |
2.降水充足,氣候怡人 | 100 | ||
人文環(huán)境 | 3.城市服務(wù)到位 | 150 | 700 |
4.創(chuàng)業(yè)氛圍好 | 300 | ||
5.開放且包容 | 250 | ||
合計(jì) | 1000 | 1000 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人;
(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;
(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請?zhí)顚懴旅?/span>列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)?
自然環(huán)境 | 人文環(huán)境 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
合計(jì) |
附:,.
P() | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量(年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.
(1)求未來4年中,至多1年的年入流量超過120的概率;
(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制,并有如下關(guān)系:
年入流量 | |||
發(fā)電量最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù) | 1 | 2 | 3 |
若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)年利潤為5000萬元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)年虧損800萬元,欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn):求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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