【題目】平行四邊形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，，，且，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）若直線上存在點，使得，所成角的余弦值為，求與平面所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

(1)取的中點或取中點,利用證平行四邊形的方法再證明平面即可.

(2)根據(jù)勾股定理與余弦定理證明,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出平面即可證明.

(3) 以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系.

設(shè),再利用空間向量求解關(guān)于線面角的問題即可.

（1）解法1：取的中點,連結(jié),,,

在直角梯形中,,,

所以四邊形為平行四邊形,

所以,

在中,,

所以,

又因為,

所以平面平面,

又平面,

所以平面.

解法2：取中點,連結(jié),,

在中,,,

所以,且,

又,,

所以,,

所以四邊形為平行四邊形,

所以,

因為平面,平面,

所以平面.

（2）在中,,,

所以,

所以,

所以,

又平面平面,平面平面,平面,

所以平面,

因為平面,

所以.

（3）由（1）（2）以為原點,以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系.

所以,,,,,

所以,

所以,,,

設(shè),

所以,

所以,

所以,

所以,

所以,

設(shè)平面的法向量為,

所以,

所以令,則,

如與平面成的角為,

所以.

所以,即與面成的角為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)，.已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，

（i）求證：在處的導數(shù)等于0；

（ii）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求b的取值范圍.

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【題目】在下列命題中,正確的命題有________(填寫正確的序號)

①若,則的最小值是6;

②如果不等式的解集是,那么恒成立;

③設(shè)x,,且,則的最小值是;

④對于任意,恒成立,則t的取值范圍是;

⑤“”是“復數(shù)()是純虛數(shù)”的必要非充分條件;

⑥若,,,則必有;

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【題目】如圖，在四棱柱中，底面，，，且，. 點E在棱AB上，平面與棱相交于點F.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）寫出三棱錐體積的取值范圍. （結(jié)論不要求證明）

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【題目】經(jīng)過多年的運作，“雙十一”搶購活動已經(jīng)演變成為整個電商行業(yè)的大型集體促銷盛宴．為迎接2018年“雙十一”網(wǎng)購狂歡節(jié)，某廠家擬投入適當?shù)膹V告費，對網(wǎng)上所售產(chǎn)品進行促銷．經(jīng)調(diào)查測算，該促銷產(chǎn)品在“雙十一”的銷售量p萬件與促銷費用x萬元滿足（其中，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元（不含促銷費用），每一件產(chǎn)品的銷售價格定為元，假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場的銷售需求．

（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；

（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？并求出最大利潤的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)為了解某產(chǎn)品的銷售情況，選擇某個電商平臺對該產(chǎn)品銷售情況作調(diào)查.統(tǒng)計了一年內(nèi)的月銷售數(shù)量（單位：萬件），得到該電商平臺月銷售數(shù)量的莖葉圖.

（1）求該電商平臺在這一年內(nèi)月銷售該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）該企業(yè)與電商簽訂銷售合同時規(guī)定：如果電商平臺當月的銷售件數(shù)不低于40萬件，當月獎勵該電商平臺10萬元；大于等于30萬件且小于40萬件，當月獎勵該電商平臺5萬元；當月低于30萬件沒有獎勵，用該樣本估計總體，從電商平臺一個年度內(nèi)任取兩個月，記這兩個月企業(yè)發(fā)給電商平臺的獎金為萬元，求的分布列.

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【題目】如圖，已知橢圓的左、右頂點為，，上、下頂點為，，記四邊形的內(nèi)切圓為.

（1）求圓的標準方程；

（2）已知圓的一條不與坐標軸平行的切線交橢圓于P，M兩點.

（i）求證：；

（ii）試探究是否為定值.

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【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量（=1,2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.








46.6

56.3

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，=

（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：

（ⅰ）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

（ⅱ）年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù),，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

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【題目】由甲、乙、丙三個人組成的團隊參加某項闖關(guān)游戲，第一關(guān)解密碼鎖，3個人依次進行，每人必須在1分鐘內(nèi)完成，否則派下一個人.3個人中只要有一人能解開密碼鎖，則該團隊進入下一關(guān)，否則淘汰出局.根據(jù)以往100次的測試，分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時間的頻率分布直方圖.

（1）若甲解開密碼鎖所需時間的中位數(shù)為47，求、的值，并分別求出甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率；

（2）若以解開密碼鎖所需時間位于各區(qū)間的頻率代替解開密碼鎖所需時間位于該區(qū)間的概率，并且丙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.5，各人是否解開密碼鎖相互獨立.

①按乙丙甲的先后順序和按丙乙甲的先后順序哪一種可使派出人員數(shù)目的數(shù)學期望更小.

②試猜想：該團隊以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學期望達到最小，不需要說明理由.

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