Question

【題目】已知函數(shù)，直線為曲線的切線（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）求實數(shù)的值；

（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)

為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)等于求出切點的橫坐標(biāo)，代入兩個曲線的方程，解方程組，可求得；（2）設(shè)與交點的橫坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求得，從而，然后利用求得的取值范圍為.

試題解析：

（1）對求導(dǎo)得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

設(shè)直線與曲線切于點，則

，解得，

所以的值為1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）記函數(shù)，下面考察函數(shù)的符號，

對函數(shù)求導(dǎo)得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

當(dāng)時，恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

當(dāng)時，，

從而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．

，∴，

又曲線 在上連續(xù)不間斷，所以由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知唯一的，使．

∴；，，

∴，

從而，

∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

由函數(shù)為增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知在，上恒成立．

①當(dāng)時，在上恒成立，即在上恒成立，

記，則，

當(dāng)變化時，變化情況列表如下：

		3
		0
		極小值

∴，

故“在上恒成立”只需，即 ．

②當(dāng)時，，當(dāng)時，在上恒成立，

綜合①②知，當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)．

故實數(shù)的取值范圍是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分