如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b，b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓Cl的長(zhǎng)軸三等分，且圓C2的面積為π．橢圓Cl的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B，直線EA、EB與橢圓C1的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)P、M．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）（i）設(shè)PM的斜率為t，直線l斜率為K1，求
K1
t
的值；
（ii）求△EPM面積最大時(shí)直線l的方程．
（Ⅰ）∵圓C2：x2+y2=b2的面積為π，
∴b2π=π，即b=1．
∴a=3b=3，
橢圓方程為
x2
9
+y2=1；
（Ⅱ）（i）由題意知直線PE、ME的斜率存在且不為0，PE⊥EM，
不妨設(shè)直線PE的斜率為k（k＞0），則PE：y=kx-1，
由
y=kx-1
x2
9
+y2=1
，得
x=
18k
9k2+1
y=
9k2-1
9k2+1
或
x=0
y=-1
．
∴P（
18k
9k2+1
，
9k2-1
9k2+1
），
用-
1
k
去代k，得M(
-18k
k2+9
，
9-k2
k2+9
)，則
t=kPM=
9k2-1
9k2+1
-
9-k2
k2+9
18k
9k2+1
+
18k
k2+9
=
k2-1
10k
．
由
y=kx-1
x2+y2=1
，得
x=
2k
1+k2
y=
k2-1
k2+1
或
x=0
y=-1
．
∴A(
2k
1+k2
，
k2-1
k2+1
)．
∴K1=
k2-1
2k
，則
K1
t
=
k2-1
2k
k2-1
10k
=5；
（ii）|PE|=
(
18k
9k2+1
)2+(
18k2
9k2+1
)2
=
18k
9k2+1
1+k2
，
|EM|=
18
k
9
k2
+1
1+
1
k2
=
18
9+k2
1+k2
．
∴S△EPM=
1
2
•
18k
9k2+1
1+k2
•
18
9+k2
1+k2

=
162k(1+k2)
(9+k2)(1+9k2)
=
162(k+k3)
9k4+82k2+9

=
162(
1
k
+k)
9k2+82+
9
k2
．
設(shè)
1
k
+k=u，
則S△EPM=
162u
82+9(u2-2)
=
162
9u+
64
u
≤
162
2
9u•
64
u
=
27
8
．
當(dāng)且僅當(dāng)
1
k
+k=u=
8
3
時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)(k-
1
k
)2=(k+
1
k
)2-4=
28
9
，
∴k-
1
k
=±
2
7
3
．
則直線AB：y=
k2-1
2k
x．
∴所求的直線l的方程為：y=±
7
3
x．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知直線y=k（x+2）與雙曲線
x2
m
-
y2
8
=1，有如下信息：聯(lián)立方程組：
y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0，分類(lèi)討論：
（1）當(dāng)A=0時(shí)，該方程恒有一解；
（2）當(dāng)A≠0時(shí)，△=B2-4AC≥0恒成立．在滿(mǎn)足所提供信息的前提下，雙曲線離心率的取值范圍是（　　）
A．（1，
3
]		B．[
3
，+∞）		C．（1，2]D．[2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓
x2
a2
+
y2
a2-1
=1（a＞1）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，一條直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若l的傾斜角為
π
4
，求|AB|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與拋物線y2=2px（p＞0）交于不同的兩點(diǎn)A、B，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍，使|AB|≤2p．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

k為何值時(shí)，直線y=kx+2和橢圓2x2+3y2=6有兩個(gè)交點(diǎn)（　�。�
A．-
6
3
＜k＜
6
3
B．k＞
6
3
或k＜-
6
3
C．-
6
3
≤k≤
6
3
D．k≥
6
3
或k≤-
6
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)A（1，0），定直線l：x=-1，B為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作直線m⊥l，連接AB，作線段AB的垂直平分線n，交直線m于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)N（4，0）作直線h與點(diǎn)M的軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，求證OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
2
2
，A1，A2分別是橢圓C的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)．點(diǎn)D是x軸上位于A2右側(cè)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=
2
|FD|
=2．
（1）求橢圓C的方程以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線n，再作直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線l交直線n于點(diǎn)Q．求證：以線段PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)F1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓上的點(diǎn)A（1，
3
2
）到點(diǎn)F1、F2的距離之和等于4，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是（Ⅰ）中所得橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F1P的中點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸且開(kāi)口向右的拋物線過(guò)點(diǎn)M（4，-4）．
（1）求拋物線的方程；
（2）過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，若|AB|=8，求直線l的方程．

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