已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓
x2
a2
+
y2
a2-1
=1（a＞1）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，一條直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若l的傾斜角為
π
4
，求|AB|的值．
由橢圓的定義，得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，…（2分）
又|AF1|+|BF1|=|AB|，
所以△ABF2的周長(zhǎng)=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a．…（4分）
又因?yàn)椤鰽BF2的周長(zhǎng)為8，所以4a=8，則a=2．…（5分）
（2）由（1）得，橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，F(xiàn)1（-1，0），…（7分）
因?yàn)橹本�l的傾斜角為
π
4
，所以直線l斜率為1，
故直線l的方程為y=x+1．…（8分）
由
y=x+1
x2
4
+
y2
3
=1
消去y，得7x2+8x-8=0，…（9分）
（法一：|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]
=
24
7
）
法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），解得，x1=
-4+6
2
7
，x2=
-4-6
2
7
…（10分）
所以y1=
3+6
2
7
，y2=
3-6
2
7

則|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(
12
2
7
)2+(
12
2
7
)2
=
24
7
…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知直線y=2x+b與曲線xy=2相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=5，則實(shí)數(shù)b的值是（　�。�
A．2B．-2C．±2D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，左頂點(diǎn)A（-2，0），離心率e=
1
2
，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)A）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)△APQ的面積S=
18
2
7
時(shí)，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）求
OP
•
FP
的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，A、B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上不同于A、B的一點(diǎn)，直線PA、PB斜傾角分別為α、β，則
cos(α-β)
cos(α+β)
=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知
a
=(2mx，y-1)，
b
=(2x，y+1)，其中m∈R，
a
⊥
b
，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程，并說(shuō)明該軌跡方程所表示曲線的形狀；
（2）當(dāng)m=
1
8
時(shí)，設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C：y2=4x焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)
（Ⅰ）若線段AB的中點(diǎn)在直線y=1上，求直線l的方程；
（Ⅱ）若線段|AB|=20，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，-6）與拋物線C：x2=4y只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b，b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓Cl的長(zhǎng)軸三等分，且圓C2的面積為π．橢圓Cl的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B，直線EA、EB與橢圓C1的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)P、M．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）（i）設(shè)PM的斜率為t，直線l斜率為K1，求
K1
t
的值；
（ii）求△EPM面積最大時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+
2
與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿(mǎn)足
OA
•
OB
＜6（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

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