Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，且a≠1）
（1）證明函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y  2）（x₁＜x₂）圖象上兩點，證明直線AB的斜率大于0．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，a＞1時，函數(shù)f（x）的圖象在y軸的右側；當0＜a＜1時，x＜0，函數(shù)f（x）的圖象在y軸的左側．所以函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側．
（2）由于x₁＜x₂，則直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

，y₁-y₂=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)=loga

ax1-1

ax2-1

，再分a＞1和0＜a＜1兩種情況分別進行討論．

解答： 證明：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，
當a＞1時，x＞0，即函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
此時函數(shù)f（x）的圖象在y軸的右側；
當0＜a＜1時，x＜0，即函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0），
此時函數(shù)f（x）的圖象在y軸的左側．
所以函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側；
（2）由已知，直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

，
y₁-y₂=loga(ax1-1)-loga(ax2-1)=loga

ax1-1

ax2-1

，
下面分a＞1和0＜a＜1兩種情況分別進行討論：
①當a＞1時，由（1）知0＜x₁＜x₂，
∴1＜ax1＜ax2，
∴0＜ax1-1＜ax2-1，
∴0＜

ax1-1

ax2-1

＜1，
∴y₁-y₂＜0，
又x₁-x₂＜0，
從而斜率k＞0；
②當0＜a＜1時，由（1）知x₁＜x₂＜0，
∴ax1＞ax2＞1，
∴ax1-1＞ax2-1＞0，
∴

ax1-1

ax2-1

＞1，
∴y₁-y₂＜0，
又x₁-x₂＜0，
從而斜率k＞0．
所以函數(shù)f（x）圖象上任意兩點連線的斜率都大于0．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的性質和綜合應用，解題時注意分類討論思想的合理應用．