Question

已知函數(shù)f（x）=

1

|x+2|

+x，若函數(shù)g（x）=f（x）-2|x|-m有四個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)g（x）=

1

|x+2|

+x-2|x|-m有四個不同的零點可化為y=

1

|x+2|

+x-2|x|與y=m的圖象有四個不同的交點，從而化簡y=

1

|x+2|

+x-2|x|=

1 -x-2 +3x，x＜-2 1 x+2 +3x，-2＜x＜0 1 x+2 -x，x≥0

；討論以確定函數(shù)的圖象的大致形狀，從而確定實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=

1

|x+2|

+x，
∴g（x）=

1

|x+2|

+x-2|x|-m；
∴函數(shù)g（x）=

1

|x+2|

+x-2|x|-m有四個不同的零點可化為
y=

1

|x+2|

+x-2|x|與y=m的圖象有四個不同的交點，
y=

1

|x+2|

+x-2|x|=

1 -x-2 +3x，x＜-2 1 x+2 +3x，-2＜x＜0 1 x+2 -x，x≥0

；
當(dāng)x＜-2時，y=-

1

x+2

+3x是增函數(shù)，且可求得y∈R；
當(dāng)-2＜x＜0時，y=

1

x+2

+3x，
y′=-

1

(x+2)2

+3；
故y=

1

x+2

+3x在（-2，-2+

3

3

）上是減函數(shù)，
在（-2+

3

3

，0）上是增函數(shù)，
且當(dāng)x=-2+

3

3

時，y=2

3

-6；
故y≥2

3

-6；
當(dāng)x≥0時，y=

1

x+2

-x在[0，+∞）上是減函數(shù)，
故y≤

1

2

-0=

1

2

；
作其圖象如下

結(jié)合圖象可知，2

3

-6＜m＜

1

2

．

點評：本題考查了函數(shù)的零點與方程的關(guān)系及函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．