【題目】已知A是圓O:x2+y2=4上一動點(diǎn),過點(diǎn)A作AB⊥x軸,垂足為B,動點(diǎn)D滿足.
(1)求動點(diǎn)D的軌跡C的方程;
(2)垂直于x軸的直線M交軌跡C于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)P(3,0),直線PM與軌跡C的另一個交點(diǎn)為Q.問:直線NQ是否過一定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.
【答案】(1);(2)直線NQ恒過定點(diǎn)
【解析】
(1)設(shè),用表示出點(diǎn)坐標(biāo),代入圓方程化簡即可得的軌跡方程;
(2)設(shè)直線斜率為,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出的坐標(biāo)關(guān)系,利用兩點(diǎn)式表示出直線的方程,化簡即可得出結(jié)論.
(1)設(shè)D(x,y),∵,∴A(x,),
代入圓O的方程可得:x24,即1.
∴動點(diǎn)D的軌跡C的方程是:1.
(2)設(shè)直線PM的方程為y=k(x﹣3),
聯(lián)立方程組,消元得:(3+4k2)x2﹣24k2x+36k2﹣12=0,
∴△=576k4﹣4(3+4k2)(36k2﹣12)0,解得:k2.
設(shè)M(x1,y1),Q(x2,y2),則N(x1,﹣y1),
由根與系數(shù)的關(guān)系可得:x1+x2,x1x2,
直線NQ的方程為:,
即(x2﹣x1)y﹣(y1+y2)x+x2y1+x1y2=0,
∵y1+y2=k(x1﹣3)+k(x2﹣3)=k(x1+x2)﹣66,
x2y1+x1y2=x2k(x1﹣3)+x1k(x2﹣3)=2kx1x2﹣3k(x1+x2)=2k3k,
∴直線NQ方程為:(x2﹣x1)0,即(x2﹣x1)=0,
∴直線NQ恒過定點(diǎn)(,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)家提出的“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,它在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝的一頁,堪稱數(shù)學(xué)史上名垂百世的成就,而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學(xué)家們.定理涉及的是數(shù)的整除問題,其數(shù)學(xué)思想在近代數(shù)學(xué)、當(dāng)代密碼學(xué)研究及日常生活都有著廣泛應(yīng)用,為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn),現(xiàn)有這樣一個整除問題:將1到2019這2019個整數(shù)中能被5除余1且被7除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列,構(gòu)成數(shù)列,那么此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( )
A.56B.57C.58D.59
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新高考方案規(guī)定,普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試(合格考)和選擇性考試(選擇考).其中“選擇考”成績將計(jì)入高考總成績,即“選擇考”成績根據(jù)學(xué)生考試時的原始卷面分?jǐn)?shù),由高到低進(jìn)行排序,評定為、、、、五個等級.某試點(diǎn)高中2018年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2016年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍,為了更好地分析該校學(xué)生“選擇考”的水平情況,統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2018年“選擇考”成績等級結(jié)果,得到如下圖表:
針對該!斑x擇考”情況,2018年與2016年比較,下列說法正確的是( )
A. 獲得A等級的人數(shù)減少了B. 獲得B等級的人數(shù)增加了1.5倍
C. 獲得D等級的人數(shù)減少了一半D. 獲得E等級的人數(shù)相同
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)F是橢圓C:1(a>b>0)的一個焦點(diǎn),點(diǎn)D是橢圓上的一個動點(diǎn),且|FD|∈[1,3].
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(﹣4,0)作直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求△AOB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中有一分鹿問題:“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士,凡五人,共獵得五鹿.欲以爵次分之,問各得幾何.”在這個問題中,大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五個不同爵次的官員,現(xiàn)皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成兩組(一組2人,一組3人),派去兩地執(zhí)行公務(wù),則大夫、不更恰好在同一組的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)棋藝協(xié)會定期舉辦“以棋會友”的競賽活動,分別包括“中國象棋”、“圍棋”、“五子棋”、“國際象棋”四種比賽,每位協(xié)會會員必須參加其中的兩種棋類比賽,且各隊(duì)員之間參加比賽相互獨(dú)立;已知甲同學(xué)必選“中國象棋”,不選“國際象棋”,乙、丙兩位同學(xué)從四種比賽中任選兩種參與.
(1)求甲、乙同時參加圍棋比賽的概率;
(2)記甲、乙、丙三人中選擇“中國象棋”比賽的人數(shù)為,求的分布列及期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上、下頂點(diǎn)分別為,若,點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程與離心率;
(2)過點(diǎn)做直線與橢圓相交于兩個不同的點(diǎn);若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題方程在在存在唯一實(shí)數(shù)根;,.
(1)若命題為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列敘述錯誤的是( ).
A.若事件發(fā)生的概率為,則
B.互斥事件不一定是對立事件,但是對立事件一定是互斥事件
C.某事件發(fā)生的概率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的
D.5張獎券中有一張有獎,甲先抽,乙后抽,則乙與甲中獎的可能性相同
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