【題目】在平面直角坐標系xOy中,點F是橢圓C:1(a>b>0)的一個焦點,點D是橢圓上的一個動點,且|FD|∈[1,3].
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點P(﹣4,0)作直線交橢圓C于A,B兩點,求△AOB面積的最大值.
【答案】(Ⅰ):1;(Ⅱ)2.
【解析】
(Ⅰ)由點是橢圓上的一個動點,且可得:可解得:即可求得橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)由題意設(shè)直線的方程為,聯(lián)立
,得,由韋達定理、點到直線距離公式等,結(jié)合已知條件能求出面積的最大值.
(Ⅰ)由點D是橢圓上的一個動點,且|FD|∈[1,3]可得:a﹣c=1,a+c=3,a2=b2+c解得:a2=4,b2=3,
所以橢圓的標準方程:1;
(Ⅱ)顯然直線AB的斜率不為零,設(shè)直線AB的方程:x=my﹣4,A(x,y),B(x',y'),
聯(lián)立與橢圓的方程整理得:(4+3m2)y2﹣24my+36=0,
△=(﹣24m)2﹣436(4+3m2)>0,整理得m2>4,且y+y',yy',
∴|AB|12
O到直線AB的距離d,
所以S△AOB|AB|d=48482,
當且僅當,即時等號成立,
所以△AOB面積的最大值:2.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學高三年級有學生500人,其中男生300人,女生200人。為了研究學生的數(shù)學成績是否與性別有關(guān),采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學生,統(tǒng)計了他們期中考試的數(shù)學分數(shù),然后按照性別分為男、女兩組,再將兩組的分數(shù)分成5組: 分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖。
(I)從樣本分數(shù)小于110分的學生中隨機抽取2人,求兩人恰為一男一女的概率;
(II)若規(guī)定分數(shù)不小于130分的學生為“數(shù)學尖子生”,請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關(guān)”?
附表:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,
(1)當時,求的最大值和最小值;
(2)求實數(shù)的取值范圍,使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】成書于公元一世紀的我國經(jīng)典數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有這樣一道名題,就是“引葭赴岸”問題,題目是:“今有池方一丈,點生其中央,出水一尺,引葭趕岸,適馬岸齊,問水深,葭長各幾何?”題意是:有一正方形池塘,邊長為一丈(10尺),有棵蘆葦長在它的正中央,高出水面部分有1尺長,把蘆葦拉向岸邊,恰好碰到沿岸(池塘一邊的中點),則水深為__________尺,蘆葦長__________尺.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在傳染病學中,通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起,到機體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期. 一研究團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息,得到如下表格:
潛伏期(單位:天) | |||||||
人數(shù) |
(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響,為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯(lián)表. 請將列聯(lián)表補充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為潛伏期與患者年齡有關(guān);
潛伏期天 | 潛伏期天 | 總計 | |
50歲以上(含50歲) | |||
50歲以下 | 55 | ||
總計 | 200 |
(3)以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率,代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率,每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立. 為了深入研究,該研究團隊隨機調(diào)查了名患者,其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能(即概率最大)是多少?
附:
,其中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知A是圓O:x2+y2=4上一動點,過點A作AB⊥x軸,垂足為B,動點D滿足.
(1)求動點D的軌跡C的方程;
(2)垂直于x軸的直線M交軌跡C于M、N兩點,點P(3,0),直線PM與軌跡C的另一個交點為Q.問:直線NQ是否過一定點?若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一片森林原來面積為,計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,為保護生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的.
(1)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?
(2)今后最多還能砍伐多少年?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校共有名學生,其中男生人,為了解該校學生在學校的月消費情況,采取分層抽樣隨機抽取了名學生進行調(diào)查,月消費金額分布在之間.根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學生在校月消費金額的頻率分布直方圖如圖所示:
將月消費金額不低于元的學生稱為“高消費群”.
(1)求的值,并估計該校學生月消費金額的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從月消費金額落在,內(nèi)的兩組學生中抽取人,再從這人中隨機抽取人,記被抽取的名學生中屬于“高消費群”的學生人數(shù)為隨機變量,求的分布列及數(shù)學期望;
(3)若樣本中屬于“高消費群”的女生有人,完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為該校學生屬于“高消費群”與“性別”有關(guān)?
(參考公式:,其中)
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