Question

(本小題13分)曲線上任意一點(diǎn)M滿足, 其中F(-F( 拋物線的焦點(diǎn)是直線y＝x－1與x軸的交點(diǎn), 頂點(diǎn)為原點(diǎn)O.
（1）求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）請問是否存在直線滿足條件：①過的焦點(diǎn)；②與交于不同
兩點(diǎn)，，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不
存在，說明理由．

Answer 1

(1) 的方程為：， 的方程為：。
（2）存在直線滿足條件，且的方程為或．

試題分析：（1）由題意結(jié)合橢圓的定義和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到關(guān)系式。
（2）假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積得到。
解：(1) 的方程為：， 的方程為：。
（2）假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)其方程為，兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，
由消去，得，
     ①

，②
，③
將①②代入③得，解得
所以假設(shè)成立，即存在直線滿足條件，且的方程為或．
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是能利用圖像變換準(zhǔn)確得到曲線的方程然后利用向量的數(shù)量積來求解得到參數(shù)的值。