Question

【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，且離心率為．

（1）求橢圓方程；

（2）斜率為的直線過點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)， 為直線上的一點(diǎn)，若△為等邊三角形，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的方程為，或.

【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式、直線的方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率列出方程組，解出a和b，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，由于直線與橢圓交于A，B，則直線與橢圓方程聯(lián)立消參得到關(guān)于x的方程，設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理，得到， ，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求出的長，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求出|MP|的長，利用為正三角形，則，列出等式求出k的值，從而得到直線的方程.

（1）依題意有， ．

可得， ．

故橢圓方程為． ５分

（2）直線的方程為．

聯(lián)立方程組

消去并整理得．

設(shè)， ．

故， ．

則．

設(shè)的中點(diǎn)為．

可得， ．

直線的斜率為，又，

所以．

當(dāng)△為正三角形時，，

可得，

解得．

即直線的方程為，或． 13分