Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)C在平面AA₁B₁B上的射影H恰好為A₁B的中點(diǎn)，且CH=，設(shè)D為中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174625017463.gif" style="vertical-align:middle;" />且正方形中，所以，

取中點(diǎn)，則且
，又為的中點(diǎn)，
所以，得平行四邊形HEDC，
因此，又，
得，，所以

平面    ………………………………6分
（Ⅱ）取中點(diǎn)，連，作于
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174625454442.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以平面平面，由（Ⅰ）得平面，
所以平面，又，所以，又，得 平面，所以與平面所成角為 ……………10分
在中，，
在中，由于，…………14分
另解：（向量法）（Ⅰ）
如圖，以H為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C（0，0，），C₁（），A₁
（），B₁（0，，0），所以

，
，因此平面； ………………6分
（Ⅱ）設(shè)平面的法向量，由于
則，
得，所以  ……………………10分
又，所以……14分

略