Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中，為正實(shí)數(shù).

（1）若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，證明：對(duì)任意，都有.

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析

【解析】

(1)據(jù)題意可得在區(qū)間上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求出滿足不等式的的取值范圍；(2)不等式整理為，由(1)可知當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而證明在區(qū)間上成立，從而證明對(duì)任意，都有.

（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒在的圖象的下方，

所以在區(qū)間上恒成立.

設(shè)，其中，

所以，其中，.

①當(dāng)，即時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，

故成立，滿足題意.

②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，

則圖象的對(duì)稱軸，，，

所以在上存在唯一實(shí)根，設(shè)為，則，，，

所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意.

綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）證明：由題意得，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，

所以.

令，則，

所以在上單調(diào)遞增，，即，

所以，從而.

由（1）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，整理得.

令，則要證，只需證.

因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即在上恒成立.

綜上可得，對(duì)任意，都有成立.