【題目】已知曲線C:y=,D為直線y=上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A,B.
(1)證明:直線AB過定點:
(2)若以E(0,)為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段AB的中點,求四邊形ADBE的面積.
【答案】(1)見詳解;(2) 3或.
【解析】
可用解析法和幾何法證明。解析法可設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為,,然后求出A,B兩點處的切線,兩條切線交于直線之上,所以交點的縱坐標(biāo)為
聯(lián)立方程可解和的關(guān)系。之后用兩點式求出直線方程,最后根據(jù)直線方程求出它所過的定點.(2)應(yīng)用四邊形面積公式,代入化簡出關(guān)于和的對稱式。然后分情況討論求解。如果不知道四面下面積公式則可以將四邊形分成兩個三角形求面積之后做和,但會稍微麻煩一些。(此題若用向量積的概念則更為容易)
(1)證明:設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為,,因為,所以,
則切線DA為:---------①,切線DB為:--------②,
代入得,得,因為故消去得交點的縱坐標(biāo),
因為DA和DB的交點D為直線上的動點,所以有,,
直線AB為,點A,B在曲線上,則有,整理得,即.當(dāng),時無論,取何值時,此等式均成立。因此直線AB過定點,得證。
(2)設(shè)AB的中點為G,由題得G點坐標(biāo)為,則,又.由題意知,即即.代入得整理得.
因,故.所以或.
由第一問中,為這里的為D點坐標(biāo),然而,故
,所以,又因為.所以。即D坐標(biāo)為.
那么,.
設(shè)為與的夾角,那么有
代入進(jìn)行化簡有
若,則.
若,則,
代入有.
所以四邊形ADBE的面積為3或.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,.
(1)若,求的值;
(2)當(dāng),,且有最小值時,求的值;
(3)當(dāng),時,有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 設(shè)橢圓的左焦點為,左頂點為,頂點為B.已知(為原點).
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為,圓同時與軸和直線相切,圓心在直線上,且,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,記在區(qū)間的最大值為,最小值為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分別為,AC,,的中點,AB=BC=,AC==2.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)證明:直線FG與平面BCD相交.
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【題目】給出下列命題:
①命題“若,則”的否命題為“若,則”;
②“”是“”的必要不充分條件;
③命題“,使得”的否定是:“,均有”;
④命題“若,則”的逆否命題為真命題
其中所有正確命題的序號是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點,P為圓周上的動點,是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為
A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知底角為45°的等腰梯形ABCD,底邊BC長為7 cm,腰長為2cm,當(dāng)一條垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從B點開始由左至右移動(與梯形ABCD有公共點)時,直線l把梯形分成兩部分,令BF=x(0≤x≤7),左邊部分的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,畫出程序框圖,并寫出程序.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,分別是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條東西和南北走向的街道,連接M,N兩地間的鐵路是圓心在上的一段圓。酎cM在點O正北方向,且,點N到,的距離分別為5km和4km.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求鐵路路線所在圓弧的方程.
(2)若該城市的某中學(xué)擬在點O正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問題,要求校址到點O的距離大于4km,并且鐵路上任意一點到校址的距離不能小于km,求該校址距點O的最近距離.
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