Question

【題目】2019年，中國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）已經(jīng)達(dá)到100億元人民幣，位居世界第二，這其中實(shí)體經(jīng)濟(jì)的貢獻(xiàn)功不可沒(méi)，實(shí)體經(jīng)濟(jì)組織一般按照市場(chǎng)化原則運(yùn)行，某生產(chǎn)企業(yè)一種產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成，每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了如下的散點(diǎn)圖

現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對(duì)兩個(gè)變量關(guān)系進(jìn)行擬合，為此變換如下：令，則，即與也滿足線性關(guān)系，令，則，即也滿足線線關(guān)系，這樣就可以使用最小二乘法求得非線性回歸方程，已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為與的相關(guān)系數(shù)，其他參考數(shù)據(jù)如下（其中）

（1）求指數(shù)函數(shù)模型和反比例函數(shù)模型中關(guān)于的回歸方程；

（2）試計(jì)算與的相關(guān)系數(shù)，并用相關(guān)系數(shù)判斷：選擇反比例函數(shù)和指數(shù)函數(shù)兩個(gè)模型中哪一個(gè)擬合效果更好（精確到0.01）？

（3）根據(jù)（2）小題的選擇結(jié)果，該企業(yè)采用訂單生產(chǎn)模式（即根據(jù)訂單數(shù)量進(jìn)行生產(chǎn)，產(chǎn)品全部售出），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù)，該產(chǎn)品定價(jià)為100元時(shí)得到簽到訂單的情況如下表：

訂單數(shù)（千件）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
概率

已知每件產(chǎn)品的原來(lái)成本為10元，試估算企業(yè)的利潤(rùn)是多少？（精確到1千元）

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別是：相關(guān)系數(shù)：

Answer 1

【答案】（1）指數(shù)模型回歸方程為，反比例函數(shù)回歸方程為；（2）反比例函數(shù)；（3）612（千元）

【解析】

（1）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，可得，即，再把代入，可求得，然后令，則，結(jié)合參考公式即可求得，，從而求得回歸方程；

（2）利用參考公式求出相關(guān)系數(shù)，再與（1）中的相比較，即可得解；

（3）設(shè)該企業(yè)的訂單期望為（千件），先利用錯(cuò)位相減法求出的值，再算出企業(yè)的利潤(rùn)．

解：（1）因?yàn)?/span>，所以，，將代入上式，得，所以.

令，則，因?yàn)?/span>，所以，

則，

所以， 所以y關(guān)于x的回歸方程為.

綜上，指數(shù)模型回歸方程為，反比例函數(shù)回歸方程為；

（2）y與的相關(guān)系數(shù)為，

因?yàn)?/span>，所以用反比例函數(shù)模型擬合效果更好.

（3）設(shè)該企業(yè)的訂單期望為S（千件），

則

令 ①

②

②-①，得

化簡(jiǎn)得，所以

所以該企業(yè)的利潤(rùn)約為：（千元）