Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求滿足不等式組的的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷其單調(diào)區(qū)間,從而可得函數(shù)在上為減函數(shù), 而由零點(diǎn)存在性定理知, 使得,進(jìn)而解不等式取交集即可;

令，時(shí)，成立的一個(gè)充分條件是:即,化為，構(gòu)造函數(shù),通過(guò)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性求最值即可求解.

當(dāng)時(shí),函數(shù)，

所以，

當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上為減函數(shù)，

而

故使得

所以不等式的解集為,

不等式需滿足,

即不等式的解集為，

求交集得的取值范圍為.

令

，

時(shí)，成立的一個(gè)充分條件是:

即,化為,

令,則,

當(dāng)時(shí),，即，

當(dāng)時(shí)，

,即，

綜上可知,在上恒成立，

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)最大值為，

因?yàn)?/span>,所以,

當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>，所以，

若在上無(wú)零點(diǎn)，則在上恒成立,

即函數(shù)在上單調(diào)遞減,

所以，不合題意舍去；

若在(上有零點(diǎn)，設(shè)是最小零點(diǎn)，

則在上不合題意舍去，

綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.