Question

【題目】若無窮數(shù)列滿足：是正實數(shù)，當(dāng)時，，則稱是“-數(shù)列”.已知數(shù)列是“-數(shù)列”.

（Ⅰ）若，寫出的所有可能值；

（Ⅱ）證明：是等差數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)單調(diào)遞減；

（Ⅲ）若存在正整數(shù)，對任意正整數(shù)，都有，證明：是數(shù)列的最大項.

Answer 1

【答案】（1）-2，0，2，8.（2）見解析（3）見解析

【解析】分析：（Ⅰ）利用遞推關(guān)系，根據(jù)分類討論思想求解即可；（Ⅱ）當(dāng)是等差數(shù)列時，利用反證法可證明單調(diào)遞減，若單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞減時，對任意，.又，所以，從而是等差數(shù)列；（Ⅲ）利用反證法：假設(shè)不是數(shù)列的最大項，設(shè)是使得的最小正整數(shù)，可得是的倍數(shù)，但，故不是的倍數(shù)，相矛盾，從而可得結(jié)論.

詳解：（Ⅰ） -2，0，2，8.

（Ⅱ）證明：因為，所以或.

當(dāng)是等差數(shù)列時，假設(shè)，則.此時，，而，矛盾！所以.于是公差，所以單調(diào)遞減.

當(dāng)單調(diào)遞減時，對任意，.又，所以，從而是等差數(shù)列.

（Ⅲ）證明：假設(shè)不是數(shù)列的最大項，設(shè)是使得的最小正整數(shù)，則

，

因此，是的倍數(shù).

假設(shè)，，…，都是的倍數(shù)，則

，

因此，也是的倍數(shù).

由第二數(shù)學(xué)歸納法可知，對任意，都是的倍數(shù).

又存在正整數(shù)，對任意正整數(shù)，都有，

所以，存在正整數(shù)，，因而是的倍數(shù).

但，故不是的倍數(shù)，矛盾！

所以，是數(shù)列的最大項.