【題目】已知三棱臺(tái)的下底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,上地面是邊長(zhǎng)為1的正三角形.在下底面的射影為的重心,且.
(1)證明:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)證明,或者建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的數(shù)量積為0證明;
(2)運(yùn)用綜合法求直線與平面所成的角應(yīng)先確定該平面的垂線,即可求解,或者建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量的夾角公式求解.
解法一:(1)證明:記的重心為,連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).
因?yàn)榈酌?/span>為正三角形,則,
又點(diǎn)在底面上的射影為,
所以平面,則,
因?yàn)?/span>,所以平面,
又平面,所以.
又,且,
所以平面,
因此,平面.
(2)由于為棱臺(tái),
設(shè)三側(cè)棱延長(zhǎng)交于一點(diǎn).
因?yàn)?/span>,
則,分別為棱,的中點(diǎn).
又為正的重心,
則,,.
因?yàn)?/span>平面,
則,
故在中,,
由三角形相似,得,
.
取的中點(diǎn),連接,,
則∥,且,
故平面,
即即為直線與平面所成的角.
又,
且,,,
所以,,
又,所以,
即,
所以,
即直線與平面所成角的正弦值為.
解法二:以重心為原點(diǎn),直線,分別為,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則,,,
設(shè),則,
,.
(1)證明:由,
即得,
即,
故,
又,
所以平面.
(2)由,
得,
所以.
設(shè)平面的法向量為,
因?yàn)?/span>,,
所以有,
令,則,所以.
設(shè)直線與平面所成的角為,
則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面內(nèi),已知,過(guò)直線,分別作平面,,使銳二面角為,銳二面角為,則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為( ).
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD-EFGH的一個(gè)截面經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A、C及棱EF上一點(diǎn)K,且將正方體分成體積比為3:1的兩部分,則的值為______ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸上方),與y軸的正半軸相交于點(diǎn)N,點(diǎn)Q是拋物線不同于A,B的點(diǎn),若2,則|BF|:|BA|:|BN|=_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),為其導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng),時(shí),求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)設(shè),當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,都有恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),.
(I)判斷曲線在點(diǎn)處的切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù);
(II)若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求的值;
(III)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的離心率為是上一點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),平行于的直線交于異于的兩點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.證明:直線與軸圍成的三角形是等腰三角形.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(Ⅱ)若存在極大值點(diǎn),證明:.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為(),與之相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為,將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象,則( )
A.g(x)為偶函數(shù)
B.g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為
C.g(x)為奇函數(shù)
D.函數(shù)g(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn)
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