【題目】已知函數(shù),.
(I)判斷曲線在點(diǎn)處的切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù);
(II)若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求的值;
(III)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求的取值范圍.
【答案】(I)詳見(jiàn)解析;(II);(III)
【解析】
(I)利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)在點(diǎn),(1)處的切線方程,和函數(shù)聯(lián)立后由判別式分析求解公共點(diǎn)個(gè)數(shù);
(II)寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式,由得到,求函數(shù)的最小值既是所要求的的值;
(III)寫(xiě)出函數(shù)的表達(dá)式,構(gòu)造輔助函數(shù),由原函數(shù)的極值點(diǎn)是其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分析導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程根的情況,分離參數(shù)后構(gòu)造新的輔助函數(shù),求函數(shù)的最小值,然后分析當(dāng)大于函數(shù)最小值的情況,進(jìn)一步求出當(dāng)時(shí)的的值,則答案可求.
解:(I)由,得,
(1),又(1),
曲線在點(diǎn),(1)處的切線方程為,
代入,得,
當(dāng)或時(shí),△,有兩個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)或時(shí),△,有一個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)時(shí),△,沒(méi)有公共點(diǎn).
(II),
由,得,
令,,
在上遞減,在上遞增,
因此,(1).
(III),
令,
,
即有兩個(gè)不同的根,,
令,
且當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;
當(dāng)時(shí),
,
,
此時(shí).
即時(shí),
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期,我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào),鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系,對(duì)高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問(wèn)卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人,余下的人中,在檢測(cè)考試中數(shù)學(xué)平均成績(jī)不少于120分的有10人,統(tǒng)計(jì)成績(jī)后得到如下列聯(lián)表:
分?jǐn)?shù)不少于120分 | 分?jǐn)?shù)不足120分 | 合計(jì) | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí) | 4 | 19 | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí) | 10 | ||
合計(jì) | 45 |
(1)請(qǐng)完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”;
(2)在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分的學(xué)生中,按照分層抽樣的方法,抽到線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)和線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的學(xué)生共5名,若在這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求至少1人每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的概率.
(下面的臨界值表供參考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】動(dòng)圓與圓外切,并與直線相切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為__________,過(guò)點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與圓心的軌跡相交于,兩點(diǎn),則直線的斜率為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是以為斜邊的等腰直角三角形,中,沿著翻折成三棱錐的過(guò)程中,直線與平面所成的角均小于直線與平面所成的角,設(shè)二面角,的大小分別為,,則( ).
A.B.
C.存在D.,的大小關(guān)系不能確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三棱臺(tái)的下底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,上地面是邊長(zhǎng)為1的正三角形.在下底面的射影為的重心,且.
(1)證明:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若(為給定的常數(shù),且),記在區(qū)間上的最小值為,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、以軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,若直線與曲線交于、兩點(diǎn).
(1)求線段的中點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校水果店有蘋果、梨、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西柚等種水果,西柚?jǐn)?shù)量不多,只夠一個(gè)人購(gòu)買,甲乙丙丁戊位同學(xué)去購(gòu)買,每人只能選擇其中一種,這位同學(xué)購(gòu)買后,恰好買了其中三種水果,則他們購(gòu)買水果的可能情況有___________種.
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